BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

KP1 trang 113 sgk toán 11 CTST

Hộp giấy có các mặt là hình vuông ở Hình 1a được vé lại với các đỉnh là A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ như Hình 1b. Gọi tên cặp mặt phẳng:

a) Có ba điểm chung không thẳng hàng.

b) Là hai mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung.

c) Không có bất kì điểm chung nào.

Giải nhanh:

a) (ABC) và (ABD); (AA'B) và (ABB'); (BB'C) và (BCC');...

b) Không có cặp mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung

c) (ABCD) và (A'B'C'D'); (ADD'A') và (BCC'B'); (ABB'A') và (DCC'D')

VD1 trang 114 sgk toán 11 CTST 

Tìm một số mặt phẳng song song có trong hình chụp căn phòng ở Hình 4.

Giải nhanh:

Bìa của cuốn sách song song với nhau, các tấm ngăn ngang của kệ sách song song với nhau, các tấm ngăn đứng song song với nhau,...

2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

KP2 trang 114 sgk toán 11 CTST 

Cho mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q). Giả sử (P) và (Q) có điểm chung M thì (P) cắt (Q) theo giao tuyến c (Hình 5).

a) Giải thích tại sao đường thẳng c phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng a, b. Điều này có trái với giả thiết a và b cùng song song với (Q) không?

b) Rút ra kết luận về số điểm chung và vị trí tương đối của (P) và (Q).

Giải nhanh:

a) cùng nằm trong , mà hai đường thẳng cắt nhau nên phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng và . Điều này trái với giả thiết //

b)

TH1 trang 115 sgk toán 11 CTST 

Cho tứ diện ABCD có E, F, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Chứng minh (EFH) // (BCD).

Giải nhanh:

Ta có lần lượt là đường trung bình của tam giác và

=>  

Mặt khác và cùng chứa trong

=>

3. TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

KP3 trang 115 sgk toán 11 CTST 

a) Cho điểm A ở ngoài mặt phẳng (Q). Trong (Q) vẽ hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’. Làm thế nào để vẽ hai đường thẳng a và b đi qua A và song song với (Q)?

b) Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa mp(a, b) và (Q)?

Giải nhanh:

a) Vẽ đi qua và // đi qua và //

b)

KP4 trang 115 sgk toán 11 CTST

Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thỏa mãn (P) // (Q), (R) ∩ (P) = a và (R) ∩ (Q) = b. Xét vị trí tương đối của a và b.

Giải nhanh:

.

TH2 trang 116 sgk toán 11 CTST

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo, tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và cắt đoạn thẳng AC. Chứng minh các giao tuyến của (α) với hình chóp tạo thành một tam giác đều.

Giải nhanh:

Gọi M, N, P lần lượt giao điểm của mặt phẳng (α) với AB, AD và SA

Ta có (ABCD) lần lượt cắt 2 mặt phẳng song song (α) và (SBD) tại MN và BD nên MN//BD. Do đó

Ta có (SAB) lần lượt cắt 2 mặt phẳng song song (α) và (SBD) tại MP và AB nên MP//AB. Do đó

Ta có (SAD) lần lượt cắt 2 mặt phẳng song song (α) và (SBD) tại NP và AD nên NP//AD. Do đó

=>

Mà tam giác SBD đều nên SB = BD = SD

Như vậy MN = MP = NP hay tam giác MNP đều.

VD2 trang 116 sgk toán 11 CTST 

Khi dùng dao cắt các lớp bánh (Hình 11), giả sử bề mặt các lớp bánh là các mặt phẳng song song và con dao được xem như mặt phẳng (P), nêu kết luận về các giao tuyến tạo bởi (P) với các bề mặt của các lớp bánh. Giải thích.

Giải nhanh:

(P) cắt các mặt phẳng chứa các lớp bánh song song theo giao tuyến song song

4. ĐỊNH LÍ THASLES TRONG KHÔNG GIAN

KP5 trang 116 sgk toán 11 CTST 

Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt cắt hai đường thẳng a và a’ tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi B1 là giao điểm của AC’ với (Q) (Hình 12).

a) Trong tam giác ACC’, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa  và ?

b) Trong tam giác AA’C’, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa và  ?

c) Từ đó, nêu nhận xét về mối liên hệ giữa các tỉ số .

Giải nhanh:

a)  

b)  

c)

TH3 trang 117 sgk toán 11 CTST 

Cho hình chóp S.ABC có SA = 9, SB = 12, SC = 15. Trên cạnh SA lấy điểm M, N sao cho SM = 4, MN = 3, NA = 2. Vẽ hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC), lần lượt đi qua M, N, cắt SB theo thứ tự tại M’, N’ và cắt SC theo thứ tự tại M”, N”. Tính độ dài các đoạn thẳng SM’, M’N’, M”N”, N”C.

Giải nhanh:

Trong tam giác SAB có MM'//AB nên =>  

Trong tam giác SAB có NN'//AB nên =>   

Do đó

Trong tam giác SAC, có MM''//AC nên =>

Trong tam giác SAC có NN''//AB nên  =>  

Do đó

VD2 trang 95 sgk toán 11 CTST 

Giải thích tại sao ghế bốn chân có thể bị khập khiễng còn ghế ba chân thì không.

Giải nhanh: 

Vì qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng.

VD3 trang 95 sgk toán 11 CTST 

Trong xây dựng, người ta thường dùng máy quét tia laser để kẻ các đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà. Tìm giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi các tia laser OA và OB của các mặt tường trong Hình 29.

Giải nhanh: 

AC và BC

4. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN

KP10 trang 96 sgk toán 11 CTST 

a) Các công trình kiến trúc, đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình gì?

b) Tìm điểm giống nhau của các hình trong Hình 31.

Giải nhanh: 

a) Hình tam giác

b) Các mặt bên đều là tam giác và có chung

KP11 trang 97 sgk toán 11 CTST 

Trong Hình 34, hình chóp nào có số mặt ít nhất?

Giải nhanh: 

Hình 34a

TH8 trang 98 sgk toán 11 CTST

Cho tứ diện SABC. Gọi H, K lần lượt là hai điểm trên hai cạnh SA và SC (H ≠ S, A; K ≠ S, C) sao cho HK không song song với AC. Gọi I là trung điểm của BC (Hình 38).

a) Tìm giao điểm của đường thẳng HK và mặt phẳng (ABC).

b) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAI) và (ABK); (SAI) và (BCH).

Giải nhanh: 

a) Giao điểm của đường thẳng HK và mặt phẳng (SAC) là E

b) BK cắt SI tại M. 

Giao tuyến của (SAI) và (ABK) là AM.

Giao tuyến của (SAI) và (BCH) là HI.

VD4 trang 98 sgk toán 11 CTST 

Cho hình chóp S.ABCD. Trên các cạnh bên của hình chóp lấy lần lượt các điểm A', B', C', D'. Cho biết AC cắt BD tại O, A'C' cắt B'D' tại O', AB cắt DC tại E và A'B' cắt D'C' tại E' (Hình 39). Chứng minh rằng:

a) S, O', O thẳng hàng

b) S, E', E thẳng hàng

Giải nhanh: 

a) Ta có:

+ S và O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) nên giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO

+ S và O' là điểm chung của hai mặt phẳng (SA'C') và (SB'D') nên giao tuyến của (SA'C') và (SB'D') là SO'

Mà nên

Như vậy,  S, O, O' thẳng hàng

b) Ta có: 

+ S và E là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) là SE

+ S và E' là điểm chung của hai mặt phẳng (SA'B') và (SC'D') nên giao tuyến của (SA'B') và (SC'D') là SE'.

Mà nên S.

Như vậy S, E, E' thẳng hàng.

VD5 trang 98 sgk toán 11 CTST 

Nêu cách tạo lập tứ diện đều S.ABC từ tam giác đều SS’S’’ theo gợi ý ở Hình 40.

Giải nhanh: 

Gấp theo các cạnh AB, BC, CA để S, S’, S’’ trùng nhau

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 99 sgk toán 11 CTST 

Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC.

1. Chứng minh đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SAC)

2. Chứng minh O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

Giải nhanh: 

a) Ta có: , suy ra (1)
, suy ra (2)
Từ (1) và (2) => nằm trong mặt phẳng
b) Điểm thuộc và => là điểm chung của hai mặt phẳng và

Bài tập 2 trang 99 sgk toán 11 CTST: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD). Chứng minh IA = 2IM.

b) Tìm giao điểm E của đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM).

c) Gọi N là một điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).

Giải nhanh: 

a) Gọi là giao điểm của và .
Trong , hai trung tuyến và cắt nhau tại trọng tâm . Do nên và do là trọng tâm của nên .
b) Trong mặt phẳng , vẽ là giao điểm của và . Do nên
c) Trong mặt phẳng , vẽ là giao điểm của và . Do nên

Bài tập 3 trang 99 sgk toán 11 CTST 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD; M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD; P thuộc đoạn SC và không là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm E của đường thẳng SO và mặt phẳng (MNP).

b) Tìm giao điểm Q của đường thẳng SA và mặt phẳng (MNP).

c) Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của QM và AB, QP và AC, QN và AD. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Giải nhanh: 

a) Trong mặt phẳng (SBD), vẽ E là giao điểm của và .
Do nên .
b) Trong mặt phẳng , Q là giao điểm của và .
Do nên .
c) là ba điểm chung của hai mặt phẳng và

=> thẳng hàng

Bài tập 4 trang 99 sgk toán 11 CTST

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I (I ≠ C), EG cắt AD tại H (H ≠ D).

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (EFG) và (BCD), (EFG) và (ACD).

b) Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm.

Giải nhanh: 

a) .
b) Trong mặt phẳng , vẽ là giao điểm của và . 

Ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và

=> Giao tuyến của hai mặt phẳng và phải đi qua . 

Như vậy cùng đi qua một điểm.

Bài tập 5 trang 99 sgk toán 11 CTST 

Thước laser phát ra tia laser, khi tia này quay sẽ tạo ra mặt phẳng ánh sáng (Hình 41). Giải thích tại sao các thước kẻ laser lại giúp người thợ xây dựng kẻ được đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà.

Giải nhanh: 

Giao tuyến của mặt phẳng ánh sáng với mặt tường hoặc mặt sàn là một đường thẳng, do đó thước kẻ laser sẽ giúp người thơ xây dựng kẻ được đường thẳng trên tường