CHƯƠNG VIII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 4. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

CÂU HỎI MỞ ĐẦU

Có bao nhiêu loại khoảng cách trong công trình đang xây dụng này? Làm thế nào để tính được những khoảng cách đó

Giải nhanh: 

Trong công trình này có: Khoảng cách giữa 2 điểm (d1), khoảng cách giữa 2 đường thẳng (d2), khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng (d3,d4) khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng (d5)

Để đo những đường nằm ngang, ta có thể dùng thước dây còn những đường nằm thẳng đứng thì dùng dây dọi

1. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MẶT PHẲNG

Khám phá trang 74 Toán 11 tập 2 Chân trời: 

a) Cho điểm M và đường thẳng a không đi qua M. Trong mặt phẳng (M, a), dùng êke để tìm điểm H trên a sao cho MH ⊥ a (Hình 1a). Đo độ dài đoạn MH

b) Cho điểm M không nằm trên mặt phẳng sàn nhà (P). Dùng dây dọi để tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (P) (Hình 1b).

Giải nhanh:

a) là khoảng cách từ đến .

b) là khoảng cách từ đến mặt phẳng

Thực hành 1 trang 75 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cho biết SA = a và SA vuông góc với (ABCD)

a) Tính khoảng cách từ điểm B đến (SAD)

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến cạnh SC

Giải nhanh:

a) Ta có:

Lại có:

.

.

b) Kẻ

.

Xét vuông tại :

.

Xét vuông tại:

.

Vận dụng 1 trang 75 Toán 11 tập 2 Chân trời: Một quạt trần có bề dày của thân quạt là 2 cm. Người ta muốn treo quạt sao cho khoảng cách từ đỉnh quạt đến sàn nhà là 2,5 m. Hỏi phải làm cán quạt dài bao nhiêu? Cho biết trần nhà cao 3,6 m.

Giải nhanh:

Độ dài của cán quạt là:

2. KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG , GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Khám phá 2 trang 76 Toán 11 tập 2 Chân trời: 

a) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên a và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (P) (Hình 4a). So sánh độ dài hai đoạn thẳng AH và BK.

b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên (P) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (Q) (Hình 4b). So sánh độ dài hai đoạn AH và BK

Giải nhanh:

a)

Ta có:

.

Mà là hình bình hành

Có:

là hình chữ nhật.

.

b)

Ta có:

.

Mà là hình bình hành

Có:

là hình chữ nhật .

Thực hành 2 trang 77 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính khoảng cách:

a) Giữa hai mặt phẳng (ACD') và (A'C'B)

b) Giữa đường thẳng AB và (A'B'C'D')

Giải nhanh:

Ta có:

Gọi là hình chiếu vuông góc của trên .

Ta có:

Mà .

.

Mà

.

Xét là hình vuông cạnh a

.

Xét vuông tại có là đường cao.

.

b) Ta có:

.

Mà .

.

3. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Khám phá 3 trang 77 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa b và song song với a. Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, vuông góc với (Q) và cắt b tại điểm J. Trong (P), gọi c là đường thẳng đi qua J, vuông góc với a và cắt a tại điểm I.

Đường thẳng IJ có vuông góc với b không? Giải thích

Giải nhanh:

Thực hành 3 trang 78 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đều bằng a và vuông góc từng đôi một. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) OA và BC

b) OB và AC

Giải nhanh:

a) Xét vuông cân tại , gọi là trung điểm .

. (1)

Ta có:

. (2)

Từ (1),(2) là đoạn vuông góc chung của và

.

Xét vuông cân tại

b) Xét vuông cân tại , gọi là trung điểm .

Ta có:

. (2)

là đoạn vuông góc chung của và

.

Vận dụng 2 trang 78 Toán 11 tập 2 Chân trời: Một căn phòng có trần cao 3,2 m. Tính khoảng cách giữa một đường thẳng a trên trần nhà và đường thẳng b trên sàn nhà.

Giải nhanh:

4. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP, KHỐI LĂNG TRỤ, KHỐI HỘP

Khám phá 4 trang 78 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho một khối hộp chữ nhật với các kích thước a, b, c đều là số nguyên dương. Vẽ các mặt phẳng song song với các mặt của hình hộp và chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1 (Hình 11). Tìm số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp.

Giải nhanh:

Số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp là: (hình)

Khám phá 5 trang 79 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' (Hình 14). Tìm cách chia khối lăng trụ thành ba khối chóp có cùng chiều cao và diện tích đáy.

Giải nhanh:

, ;

Thực hành 4 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tính thế tích của một bồn chứa dạng hình chóp cụt đều có kích thước được cho như trong Hình 20.

Giải nhanh:

Diện tích đáy lớn là:

Diện tích đáy bé là

Thể tích của bồn chứa là:

Vận dụng 3 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tính thể tích cái nêm hình lăng trụ đứng có kích thước như trong Hình 21.

Giải nhanh:

)

BÀI TẬP

Bài tập 1 trang 81 Toán 11 tập 1 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo, ⁰, SO ⊥(ABCD), SO = a. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD)

Giải nhanh:

Kẻ .

Ta có:

Mà .

.

Mà .

 .

Xét đều

Xét , áp dụng định lí cos, ta có :

.

Xét vuông tại , có là đường cao:

Ta có:

Do đó, vuông tại có là đường cao nên:

Bài tập 2 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hai tam giác cân ABC và ABD có đáy chung AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng. 

a) Chứng minh rằng AB ⊥ CD

b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD

Giải nhanh:

a) Gọi là trung điểm của .

Ta có :

/

b) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên .

Ta có:

Mà .

=> là đoạn vuông góc chung của và .

Bài tập 3 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA=SB=SC=SD=aGọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh AB ⊥ (SIJ)

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Giải nhanh:

a) Ta có: cân tại và đáy là hình vuông.

.

b) Ta có:

)).

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên .

Ta có: và là tâm hình tròn ngoại tiếp đáy

.

Mà

.

Xét vuông tại , có:

.

Xét vuông tại , có là đường cao:

.

.

Bài tập 4 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, góc giữa hai mrụặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 60⁰

a) Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ

b) Tính thể tích của khối lăng trụ

Giải nhanh: 

a) Vì khối lăng trụ đều nên là tam giác đều.

Gọi là trung điểm .

.

Ta có: .

Xét vuông tại có:

b)

Bài tập 5 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời: Một cây cầu dành cho người đi bộ (Hình 22) có mặt sàn cầu cách mặt đường 3,5 m, khoảng cách từ đường thẳng a nằm trên tay vịn của cầu đến mặt sàn cầu là 0,8 m. Gọi b là đường thẳng kẻ theo tim đường. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b

Giải nhanh:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là .

Bài tập 6 trang 82 Toán 11 tập 2 Chân trời:  Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a và đáy ABCD là hình thoi có AB = a và AC=a

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AA'

b) Tính thể tích của khối hộp

Giải nhanh:

a) Ta có: .

Mà .

Vậy là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và .

b) Xét là hình thoi tâm

Bài tập 7 trang 82 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và có O là giao điểm hai đường chéo của đáy.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

b) Tính thể tích của khối chóp

Giải nhanh:

a) Kẻ .

Có là hình chóp tứ giác đều

 .

Mà .

Mà

.

Xét vuông tại , ta có:

Ta có: vuông cân tại .

=

b)

Bài tập 8 trang 82 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tính thể tích của khối chóp cụt lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' với O và O' là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là a và , OO' = a

Giải nhanh:

Ta có mỗi hình lục giác đều được tạo bởi 6 tam giác đều có cạnh bằng cạnh của hình lục giác.

.