CHƯƠNG VIII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 5. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. GÓC NHỊ DIỆN

CÂU HỎI MỞ ĐẦU

Mặt phẳng nghiêng thường được sử dụng trong lao động vì tính tiện dụng của nó. Quan sát hình mặt phẳng nghiêng (P) và mặt đất (Q) trong hình dưới đây và tìm hiểu tại sao:

• được gọi là góc hợp bởi đường thẳng d và (Q)
• được gọi là góc hợp bởi hai mặt phẳng (P) và (Q)

Giải nhanh: 

K là hình chiếu vuông góc của C lên (Q) => được gọi là góc hợp bởi đường thẳng d và (Q)

(P)∩(Q),CB⊥AB,BK⊥AB => được gọi là góc hợp bởi hai mặt phẳng (P) và (Q)

1. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Khám phá 1 trang 82 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P)

a) Trong trường hợp a vuông góc với (P), tìm góc giữa a và một đường thẳng b tuỳ ý trong (P)

b) Trong trường hợp a không vuông góc với (P), tìm góc giữa a và đường thẳng a' là hình chiếu vuông góc của a trên (P)

Giải nhanh:

a) Ta có:

b) Lấy .

Dựng

=> Góc giữa và là góc .

Thực hành 1 trang 83 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa các đường thẳng sau đây với mặt phẳng (ABCD)

a) AA'

b) BC'

c) A'C

Giải nhanh:

a) Ta có:

.

b) Ta có:

.

c) Ta có:

.

.

.

.

Vận dụng 1 trang 83 Toán 11 tập 2 Chân trời: Một tấm ván hình chữ nhật ABCD được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2 m. Cho biết AB = 1 m, AB = 3,5 m. Tính góc giữa đường thẳng BD và đáy hố.

Giải nhanh:

Ta có:

.

Có:

.

.

.

Như vậy góc giữa đường thẳng và đáy hồ khoảng .

2. GÓC NHỊ DIỆN VÀ GÓC PHẲNG NHỊ DIỆN

Khám phá 2 trang 84 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hai đường thẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Hãy gọi tên các nửa mặt phẳng có chung bờ d. Các nửa mặt phẳng này chia không gian thành bao nhiêu phần?

Giải nhanh:

Các nửa mặt phẳng này chia không gian thành 4 phần.

Khám phá 3 trang 84 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho góc nhị diện [P1,d,Q1]. Gọi O là một điểm tùy ý trên d, Ox là tia nằm trong (P1) và vuông góc với d, Oy là tia nằm trong (Q1) và vuông góc với d (Hình 6)

a) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa d và mp(Ox, Oy)

b) Nêu nhận xét về số đo của góc xOy khi O thay đổi trên d

Giải nhanh:

a) Ta có:

.

b) Số đo của không đổi 

Thực hành 2 trang 85 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của đáy và có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định và tính góc phẳng nhị diện:

a) [S, BC, O]

b) [C, SO, B]

Giải nhanh:

a) Gọi là trung điểm .

đều

vuông cân tại .

Khi đó góc là một góc phẳng của nhị diện

Ta có: là trung điểm của , là trung điểm của .

là đường trung bình của .

.

đều, là trung điểm của .

là đường trung tuyến .

.

=> .

b) Ta có:

.

Vậy là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện .

Mà là hình vuông nên .

Vậy góc phẳng nhị diện của góc nhị diện bằng

Vận dụng 2 trang 85 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

Giải nhanh:

Mô hình hóa kim tự tháp bằng chóp tứ giác đều với là tâm của đáy.

Gọi là trung điểm của

đều nên .

vuông cân tại nên .

Khi đó góc là một góc phẳng của nhị diện

Ta có: là trung điểm của , là trung điểm của .

Suy ra là đường trung bình của .

Do đó:

BÀI TẬP

Bài tập 1 trang 85 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho tứ diện đều ABCD, Vẽ hình bình hành BCED

a) Tìm góc giữa đường thẳng AB và (BCD)

b) Tìm góc phẳng nhị diện [A,CD,B]; [A,CD,E] 

Giải nhanh:

a) Gọi là trung điểm của . 

Có là tứ diện đều, là trọng tâm của .

.

.

b) đều nên .

đều nên .

Do đó .

+) đều nên .

đều nên .

=> là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện

Bài tập 2 trang 85 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy và có tất cá các cạnh bằng nhau.

a) Tìm góc giữa đường thẳng SA và (ABCD)

b) Tìm góc phẳng nhị diện [A, SO, B], [S, AB, O] 

Giải nhanh:

a) .

b) Gọi là trung điểm của .

.

Vậy .

là hình vuông nên .

đểu nên .

vuông cân tại nên .

Vậy là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện

Bài tập 3 trang 85 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp cụt lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' với O và O' là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là a và a/2; OO' = a

a) Tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy

b) Tìm góc phẳng nhị diện [O, AB, A'], [O', A'B; A]

Giải nhanh:

a) Kẻ .

.

b) Gọi lần lượt là trung điểm của .

Khi đó, .

Vì là hình thang cân nên .

Do đó: là góc phẳng nhị diện của , là góc phẳng nhị diện của

Bài tập 4 trang 85 Toán 11 tập 2 Chân trời: Một con dốc có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với kích thước như trong Hình 9

a) Tính số đo góc giữa đường thẳng CA' và (CC'B'B)

b) Tính số đo góc nhị diện cạnh CC'                                  

Giải nhanh:

a) Xét tam giác vuông có: 

.

Ta có:

Khi đó: .

=> .

b) Ta có: .

là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện

=>

Bài tập 5 trang 85 Toán 11 tập 2 Chân trời: Người ta định đào một cái hầm có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có hai cạnh đáy là 14 m và 10 m. Mặt bên tạo với đáy nhỏ thành một góc nhị diện có số đo bằng 135^o. Tính số mét khối cần di chuyển ra khỏi hầm

Giải nhanh:

Gọi lần lượt là tâm hai đáy và trung điểm hai cạnh đáy lơn và đáy nhỏ tương ứng.

Vẽ đường cao của hình thang vuông . 

Ta có:

Diện tích hai đáy tương ứng là:

.

Thể tích của khối chóp cụt là:

)

Vậy cần phải di chuyển ra khỏi hầm khoảng đất