CHƯƠNG VIII. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian. Qua một điểm M tuỳ ý vẽ d//a và vẽ b'//b. Khi thay đổi vị trí của điểm M, có nhận xét gì về góc giữa a' và b'?

Giải nhanh:

Khi thay đổi vị trí của M thì góc giữa a' và b' không thay đổi.

Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt đều là hình vuông M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, BA, AA', A'D'. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) MN và DD'

b) MN và CD'

c) EF và CC'

Giải nhanh:

a) Góc giữa MN và DD' là góc giữa AC Và AA'

b) Góc giữa MN và CD' là góc giữa AC và CD'

c) Góc giữa EF và CC' là góc giữa AA' và AD'

Bài 3: Khung của một mái nhà được ghép bởi các thanh gỗ như Hình 3. Cho biết tam giác OMN vuông cân tại O. Tính góc giữa hai thanh gỗ a và b

Giải nhanh:

Góc giữa là

2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp đường thẳng

a) AB và BB'

b) AB và DD'

Giải nhanh:

a)

a)

Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D" có 6 mặt đều là hình vuông

a) Tìm các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình hộp và vuông góc với AC

b) Trong các đường thẳng tìm được ở câu a, tìm đường thẳng chéo với AC

Giải nhanh:

a) BD, B'D', AA', CC', BB', DD'

b) B'D', BB′, DD′ 

Bài 3: Hình bên mô tả một người thợ đang ốp gạch vào tường có sử dụng thước laser để kẻ vạch. Tìm các đường thẳng vuông góc với đường thẳng a trong Hình 4

Giải nhanh:

Đường thẳng vuông góc với tại  

3. BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết Sa=a√3, SA ⊥ AB và SA⊥AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB

Giải nhanh:

Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB⊥CD 

Giải nhanh:

Gọi là độ dài cạnh của tứ diện đều .

Gọi lần lượt là trung điểm của và .

Ta có .

Ta có => Tam giác vuông tại .

Ta lại có //

=> => .

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, = = 60⁰_, = 90⁰_.  Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ SA và IJ√BC

Giải nhanh:

Ta có là tam giác vuông cân tại , suy ra .

Ta có là tam giác đều, suy ra .

Ta có là tam giác đều, suy ra .

Vì và

=> là tam giác 

Ta có

=> Tam giác cân tại và tam giác cân tại

=>  và .

Bài 4:Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC

Giải nhanh:

Gọi là trung điểm của .

Ta có

=> .

Trong tam giác , ta có , vuông cân tại .

=> .

=> .

Vậy

Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và MN =a. Tính góc giữa AB và CD

Giải nhanh:

Gọi lần lượt là trung điểm của .

Ta có: và và .

Trong tam giác , ta có:

=>

=>

Vậy

Bài 6: Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều ABCDEF song song với mặt bàn và có cạnh AB song song với cạnh bàn a (Hình 5). Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng a lần lượt với các đường thẳng AF, AE và AD

Giải nhanh:

.