BÀI 2. CẤP SỐ CỘNG

1. CẤP SỐ CỘNG

KP1 trang 52 sgk toán 11 CTST         

Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:

a) 2; 5; 8; 11; 14 (xem Hình 1).

b) 2; 4; 6; 8.

c) 5; 10; 15; 20; 25.

Giải nhanh:

Trong cùng một dãy số, số liền sau bằng tổng của số liền trước với một số không đổi.

TH1 trang 53 sgk toán 11 CTST

Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai của mỗi cấp số cộng đó.

a) 3; 7; 11; 15; 19; 23.

b) Dãy số (u_n) với u_n = 9n – 9.

c) Dãy số (v_n) với v_n = an + b, trong đó a và b là các hằng số.

Giải nhanh:

a) Vì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4

b) Ta có:

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai d = 9

c) Ta có:

Vậy dãy số  là cấp số cộng có công sai d = a.

TH2 trang 53 sgk toán 11 CTST: 

Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó

Giải nhanh:

3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng, gọi 3 góc đó là: 

Ta có: 

(1)

Do tam giác đó là tam giác vuông nên có 1 góc bằng . Suy ra (2)

Từ (1) và (2), ta tính được

Vậy số đo 3 góc là

VD1 trang 53 sgk toán 11 CTST

Mặt cắt của một tổ on có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo ra vòng 2 có 12 ô bao quanh vòng 1; bước thứ ba, các ong thợ sẽ tạo ra 18 ô bao quang vòng 2, cứ thế tiếp tục (Hình 2). Số ô trên các vòng theo thứ tự có tạo thành cấp số cộng không? Nếu có, tìm công sai của cấp số cộng này.

Giải nhanh:

Ta thấy:

Vậy các ô trên vòng theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai là 6.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG

KP2 trang 54 sgk toán 11 CTST

Cho cấp số cộng (u_n). Hãy cho biết các hiệu số sau đây gấp bao nhiêu lần công sai d của (u_n) : u₂ – u₁; u₃ – u₁; u₄ – u₁; ...; u_n – u₁.

Giải nhanh:

TH3 trang 54 sgk toán 11 CTST

Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:

a) Cấp số cộng (a_n) có a₁ = 5 và d = – 5;

b) Cấp số cộng (b_n) có b₁ = 2 và b₁₀ = 20.

Giải nhanh:

a)

b)

Suy ra số hạng tổng quát

VD2 trang 54 sgk toán 11 CTST

Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (c_n) có c₄ = 80 và c₆ = 40.

Giải nhanh:

(1)

(2)

Từ (1), (2) =>

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là:

3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG

KP3 trang 54 sgk toán 11 CTST

Cho cấp số cộng (u_n) có công sai d.

a) Tính các tổng u_n + u₁; u₂ + u_n-1; u₃ + u_n-2; ...; u_k + u_n-k+1 theo u₁, n và d.

b) Chứng tỏ rằng

Giải nhanh:

a)

b)

TH4 trang 55 sgk toán 11 CTST 

1. Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên.
2. Cho cấp số cộng (u_n) có u₃ + u₂₈ = 100. Tính tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
3. Cho cấp số cộng (v_n) có S₆ = 110. Tính S₂₀.

Giải nhanh:

a)

b)

c)

=>

VD3 trang 55 sgk toán 11 CTST

Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 17 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế, ... cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng (Hình 4).

Giải nhanh:

Ta có:

=> và

a)

b)

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 56 sgk toán 11 CTST

Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 1; – 3; – 7; – 11; – 15.

Giải nhanh:

Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với nên dãy số là một cấp số cộng.

Bài tập 2 trang 56 sgk toán 11 CTST  

Cho (u_n) là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 4 và công sai d = – 10. Viết công thức số hạng tổng quát u_n.

Giải nhanh:

Bài tập 3 trang 56 sgk toán 11 CTST

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = – 3 và công sai d = 2.

a) Tìm u₁₂;

b) Số 195 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

Giải nhanh:

a) ;
b)  

Bài tập 4 trang 56 sgk toán 11 CTST

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

1. u_n = 3 – 4n;

2. u_n = - 4;

3. u_n = 5ⁿ;

4. u_n =

Giải nhanh:

a) là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .
b) là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .
c) không phải là cấp số cộng 
d) là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .

Bài tập 5 trang 56 sgk toán 11 CTST

Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u_n), biết:

Giải nhanh:

a)
b)
c)

Bài tập 6 trang 56 sgk toán 11 CTST 

Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43 cm, 41 cm, ..., 31 cm.

a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?

b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

Giải nhanh:

a) Chiều dài các thanh ngang của cái thang tạo thành một cấp số cộng có: . Suy ra .
b)

Bài tập 7 trang 56 sgk toán 11 CTST

Khi một vận động viên nhảy dù nhảy xa khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dủ lần lượt là: 16; 48; 80; 112; 144; ... (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).

a) Tính công sai của cấp số cộng trên.

b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.

Giải nhanh:

a) .
b) (feet)

Bài tập 8 trang 56 sgk toán 11 CTST 

Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B cùng quy định kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100cm. Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?

Giải nhanh:

Chiều cao của các cây có số alen trội từ 0 đến 4 tạo thành 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng với và

=>