CHƯƠNG VII: ĐẠO HÀM

BÀI 2. CÁC QUY TẮC ĐẠO HÀM

CÂU HỎI MỞ ĐẦU

Giả sử hàm số f(x) và g(x) lần lượt có đạo hàm tại x₀ là f'(x₀) và g'(x₀). Làm thế nào để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích hoặc thương của f(x) và g(x) tại x₀?

Giải nhanh:

Tìm giới hạn của tổng, hiệu, tích hoặc thương của f(x) và g(x) tại x₀. 

1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ y = xⁿ , n ∈ N*

Khám phá 1 trang 42 Toán 11 tập 2 Chân trời: a) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm x = x₀.

b) Nhắc lại đạo hàm của các hàm số y = x²; y = x³ đã tìm được ở bài học trước. Từ đó, dự đoán đạo hàm của hàm số y = xⁿ với n ∈ℕ*

Giải nhanh:

a) .

b)

Dự đoán:  

Thực hành 1 trang 43 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của hàm số y = x¹⁰ tại x = −1 và x =

Giải nhanh:

2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Y=

Khám phá 2 trang 43 Toán 11 tập 2 Chân trời: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tại điểm x=x0 với x0>0

Giải nhanh:

Thực hành 2 trang 43 Toán 11 tập 2 Chân trời: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm có hoành độ bằng 4

Giải nhanh:

.

Với thì .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 4 là:

Thực hành 3 trang 43 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tìm đạo hàm của các hàm số:

a) y= tại x = 1

b) y = tại x = -

Giải nhanh:

a)

b)

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Khám phá 3 trang 44 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho biết Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx

Giải nhanh:

Thực hành 4 trang 44 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại x=
Giải nhanh:

Khám phá 4 trang 44 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho biết 1 và 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = e^x

b) y = lnx

Giải nhanh:

a)

b)

Thực hành 5 trang 44 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tìm đạo hàm của các hàm số

a) y = 9^x tại x = 1

b) y = lnx tại x =

Giải nhanh:

a)

b) .

5. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG CỦA HAI HÀM SỐ

Khám phá 5 trang 45 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số có đạo hàm tại x₀. Xét hàm số h(x) = f(x) + g(x).

Ta có = nên

h’(x) = = = ... +...

Chọn biểu thức thích hợp thay cho chỗ chấm để tìm h'(x₀).

Giải nhanh:

Thực hành 6 trang 46 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = xlog₂x

b) y = x³e^x

Giải nhanh:

a)

b)

6. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

Khám phá 6 trang 46 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hàm số u = sinx và hàm số y=u²

a) Tính y theo x

b) Tính y′_x (đạo hàm của y theo biến x), y′_u (đạo hàm của y theo biến u) và u′_x (đạo hàm của u theo biến x) rồi so sánh y′_x với y′_u.u′_x

Giải nhanh:

a) .

b)

Có

Vậy .

Thực hành 7 trang 47 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (2x³+3)²

b) y = cos3x

c) y = log₂ (x²+2)

Giải nhanh:

a) .

b) .

c)

7. ĐẠO HÀM CẤP 2

Khám phá 7 trang 47 Toán 11 tập 2 Chân trời: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t)=2t³+4t+1, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây

a) Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t

b) Đạo hàm v'(t) biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc theo thời gian, còn gọi là gia tốc của chuyển động, kí hiệu a(t). Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2

Giải nhanh:

a) .

b)

.

Thực hành 8 trang 48 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = x²−x

b) y = cosx

Giải nhanh:

a) .

b) .

Vận dụng trang 49 Toán 11 tập 2 Chân trời: Một hòn sỏi rơi tự do có quãng đường rơi tính theo thời gian t là s(t) = 4,9t², trong đó s tính bằng mét và t tính bằng giây. Tính gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3

Giải nhanh:

BÀI TẬP

Bài tập 1 trang 41 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y =

b) y =

c) y =

d) 

Giải nhanh:

a) .

b)

c)

d)

Bài tập 2 trang 50 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. y = sin 3x

2. y =

3. y = 

4. 

Giải nhanh:

a)

b)

c)

d)

Bài tập 3 trang 49 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y =

b) y =  

c) y =

Giải nhanh: 

a)

b)

c) .

Bài tập 4 trang 49 Toán 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y =

b) y = xe^x

Giải nhanh:

a）

b)

Bài tập 5 trang 49 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số , trong đó t được tính bằng tháng và w được tính bằng pound. Tính tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi

Giải nhanh: 

(pound/tháng).

Bài tập 6 trang 49 Toán 11 tập 2 Chân trời: Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghin đô-la, để sản xuất x mặt hàng là C(x) = và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số x(t) = 20t+40. Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?

Giải nhanh:

Khi đó , tốc độ tăng chi phí của công ty sau tháng là : .

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó là :

(nghìn đô – la/tháng).

Bài tập 7 trang 49 Toán 11 tập 2 Chân trời: Trên Mặt trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức s(t) = 0,81t², trong đó t là thời gian được tính bằng giây và s tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao 200m phía trên Mặt trăng. Tại thời điểm t = 2 sau khi thả vật đó, tính

a) Quãng đường vật đã rơi

b) Gia tốc của vật

Giải nhanh:

a)

b) Có