BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

KP1 trang 100 sgk toán 11 CTST

a) Nếu các trường hợp có thể xảy ra đối với hai đường thẳng a, b cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Cho tứ diện ABCD. Hai đường thẳng AB và CD có cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào không?

Giải nhanh:

a) - Hình 1a: Hai đường thẳng trùng nhau

- Hình 1b: Hai đường thẳng cắt nhau.

- Hình 1c: Hai đường thẳng song song.

b) AB và CD không cùng nằm trên một mặt phẳng.

TH1 trang 101 sgk toán 11 CTST 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) AB và CD;

b) SA và SC;

c) SA và BC.

Giải nhanh:

a) AB // CD

b) SA cắt SC tại điểm S.

c) SA chéo với BC.

VD1 trang 102 sgk toán 11 CTST

Hãy chỉ ra các ví dụ về hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau trong hình cầu sắt ở Hình 6.

Giải nhanh:

b, c cắt nhau 

b, d song song

a, b chéo nhau

2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

KP2 trang 102 sgk toán 11 CTST

a) Trong không gian, cho điểm M ở ngoài đường thẳng d. Đặt (P) = mp(M, d). Trong (P), qua M vẽ đường thẳng d’ song song với d, đặt (Q) = mp(d, d’). Có thể khẳng định hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau không?

b) Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cắt nhau theo ba giao tuyến a, b, c phân biệt với a = (P) ∩ (R); b = (Q) ∩ (R); c = (P) ∩ (Q) (Hình 8).

Nếu a và b có điểm chung M thì điểm M có thuộc c không?

Giải nhanh:

a) (P) và (Q) trùng nhau.

b) Nếu a và b có điểm chung M thì điểm M có thuộc c

TH2 trang 103 sgk toán 11 CTST 

Cho hình chóp S.ABCD. Vẽ hình thang ADMS có hai đáy là AD và MS. Gọi d là đường thẳng trong không gian đi qua S và song song với AD. Chứng minh đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (SAD).

Giải nhanh:

Hình thang ADMS có đáy là AD và MS => AD // MS

Trong không gian, chỉ có duy nhất 1 đường thẳng đi qua S và song song với AD nên d phải trùng SM.

Mà SM (ADMS) nên d (ADMS), hay d (SAD)

KP3 trang 104 sgk toán 11 CTST 

Ta đã biết trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau (Hình 13a).

Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c không đồng phẳng, a và b cùng song song với c. Gọi M là điểm thuộc a, d là giao tuyến của mp (a, c) và mp(M, b) (Hình 13 b). Do b // c nên ta có d//b và d//c. Giải thích tại sao d phải trùng với a. Từ đó, nêu kết luận về vị trí giữa a và b.

Giải nhanh:

Ta có: d là giao tuyến của mp(a.,c) và mp(a,b) 

Mà a cũng nằm trong mp(a, c) và mp(a, b)

=> d trùng a

Do đó, a//b

TH3 trang 105 sgk toán 11 CTST

Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và BD. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua I, J và cắt hai cạnh AC và AD lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh IJNM là một hình thang.

b) Tìm vị trí của điểm M để IJNM là hình bình hành.

Giải nhanh:

a) Ta có ba mặt phẳng (P), (ACD), (BCD) cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt là IJ, MN và CD.

Mà IJ//CD

Nên (P) giao với (ACD) tại MN // IJ // CD.

Như vậy IJMN là hình thang có đáy là MN và IJ

b) Để IJMN là hình bình hành thì IJ = MN

Mà IJ = CD nên MN = CD 

Như vậy M là trung điểm của AC.

VD2 trang 105 sgk toán 11 CTST 

Một chiếc lều (Hình 16a) được minh họa như Hình 16b.

a) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song

b) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy

Giải nhanh:

a) (P), (Q), (R)

b) (P), (R), (S)

3. BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 105 sgk toán 11 CTST 

Cho hai đường thẳng song song a và b. Mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Đường thẳng c cắt a thì cũng cắt b.

b) Đường thẳng c chéo với a thì cũng chéo với b.

Giải nhanh:

a) Mệnh đề sai

b) Mệnh đề sai

Bài tập 2 trang 106 sgk toán 11 CTST 

Hình chóp S.ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác ABC (Hình 17). Qua M, vẽ đường thẳng d song song với SA, cắt (SBC). Trên hình vẽ, hãy chỉ rõ vị trí của điểm N và xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (CMN).

Giải nhanh:

Trong mặt phẳng , vẽ cắt tạp P. Ta có và // nằm trong , suy ra .

Trong mặt phẳng , qua vẽ đường thẳng d// và cắt tại .

Ta có: là điểm chung của và , suy ra giao tuyến của và là đường thẳng đi qua và .

Bài tập 3 trang 106 sgk toán 11 CTST

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).

b) Lấy một điểm M trên đoạn SA (M khác S và A), mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tứ giác CBMN là hình gì?

Giải nhanh:

a) Ta có: là điểm chung của và

=> Giao tuyến và là đường thẳng đi qua và .
b) Ta có:

=> Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng sao cho .
Vậy tứ giác là hình thang.

Bài tập 4 trang 106 sgk toán 11 CTST 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD. Hai mặt phẳng (IAC) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến Cx. Chứng minh rằng Cx // SB.

Giải nhanh:

Gọi giao điểm của và . Ta có  

Hai mặt phẳng và lần lượt chứa hai đường thẳng song song và có điểm chung nên và cắt nhau theo giao tuyến và
Do đó

Bài tập 5 trang 106 sgk toán 11 CTST

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm của SO. Mặt phẳng ICD cắt SA, SB lần lượt tại M, N.

a) Hãy nói cách xác định hai điểm M và N. Cho AB = a. Tính MN theo a.

b) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Chứng minh SK // BC //AD.

Giải nhanh:

a) Trong mp cắt tại . Trong mp cắt tại .

Khi đó lần lượt là giao điểm của và với mp
Ta có , suy ra
Gọi là trung điểm của . Ta có và
Ta lại có => và
Mà =>
b) Ta có và là hai điểm chung của hai mặt phẳng và

=> là giao tuyến của hai mặt phẳng và

Ta lại có => 

Bài tập 6 trang 106 sgk toán 11 CTST 

Chỉ ra các đường thẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một ví dụ khác về các đường thẳng song song trong thực tế.

Giải nhanh:

Hình a: Các dây điện song song với nhau

Hình b: Các mép của viên gạch lát song song với nhau

Hình c: Các mép của bậc thang song song với nhau

Hình d: Các mép của phím đàn song song với nhau

Hình e: Các mép của từng ngăn kệ song song với nhau

Hình g: Các mép của viên gạch song song với nhau

Một số ví dụ: Các gáy của quyền sách trong chồng sách, Các mép của chân bàn thẳng đứng,...