CHƯƠNG IV: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

HĐKP 1

a) Các cặp mặt phẳng có ba điểm chung không thẳng hàng là:

(ABC) và (ABD); (AA'B) và (ABB'); (BB'C) và (BCC');...

b) Không có cặp mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung

c) Các cặp mặt phẳng không có điểm chung nào là:

(ABCD) và (A'B'C'D'); (ADD'A') và (BCC'B'); (ABB'A') và (DCC'D')

Kết luận

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q).

+) (P)≡(Q)⇔ hai mặt phẳng có ba điểm chung không thẳng hàng.

+) (P)$\cap $(Q)=d⇔ hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung.

+) (P)//(Q)(hoặc Q∕∕(P)⇔ hai mặt phẳng không có điểm chung nào hay (P)$\cap $(Q)=∅

Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Ví dụ 1 (SGK -tr.114)

Vận dụng 1

Bìa của cuốn sách song song với nhau, các tấm ngăn đứng song song với nhau, các tấm ngăn ngang của kệ sách song song với nhau.

2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

HĐKP 2

a) c,a,b cùng nằm trong (P), mà hai đường thẳng a,b cắt nhau nên c phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng a và b. Điều này trái với giả thiết a,b cùng song song với (Q).

b) (P) và (Q) không có điểm chung, suy ra (P)//(Q)

Định lí 1

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.

Chú ý:

Nếu A, B, C không thẳng hàng và AB // MN, AC // MP thì (ABC) //(MNP).

Ví dụ 2 (SGK -tr.115)

Thực hành 1

Ta có EF,FH lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ACD, suy ra EF//BC,FH//CD. 

Mặt khác EF và FH cùng chứa trong (EFH),EF∩FH=F, suy ra (EFH)//(BCD).

3. TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

HĐKP 3

a) Vẽ a đi qua A và song song a';b đi qua A và song song b';

b) mp(a,b)//(Q).

Định lí 2

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. 

HĐKP 4

a//b.

- Định lí 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Ví dụ 3 (SGK -tr.116)

Thực hành 2

Gọi M, N, P lần lượt giao điểm của mặt phẳng (α) với AB, AD và SA

Ta có (ABCD) lần lượt cắt 2 mặt phẳng song song (α) và (SBD) tại MN và BD nên MN//BD. Do đó

$\frac{MN}{BD}$=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{AD}$

Ta có (SAB) lần lượt cắt 2 mặt phẳng song song (α) và (SBD) tại MP và AB nên MP//AB. Do đó $\frac{MP}{SB}$=$\frac{AM}{AB}$

Ta có (SAD) lần lượt cắt 2 mặt phẳng song song (α) và (SBD) tại NP và AD nên NP//AD. Do đó $\frac{NP}{SD}$=$\frac{AN}{AB}$

Suy ra $\frac{MN}{BD}$=$\frac{MP}{SB}$=$\frac{NP}{SD}$

Mà tam giác SBD đều nên SB = BD = SD

Vậy ta có: MN = MP = NP hay tam giác MNP đều.

Vận dụng 2

Mặt phẳng (P) cắt các mặt phẳng chứa các lớp bánh song song theo giao tuyến song song.

4. ĐỊNH LÝ THASLES TRONG KHÔNG GIAN

HĐKP 5

a) Trong tam giác ACC', ta có BB$_{1}$ ∕∕CC'nên $\frac{AB}{BC}$=$\frac{AB_{1}}{B_{1}C'}$.

b) Trong tam giác AA'C', ta có B'B$_{1}$ ∕∕AA'nên $\frac{AB_{1}}{B_{1}C'}$=$\frac{A'B'}{B'C'}$.

c) Ta có: $\frac{AB}{BC}$=$\frac{AB_{1}}{B_{1}C'}$=$\frac{A'B'}{B'C'}$

Định lí 4 (Định lí Thalès)

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Ví dụ 4 (SGK -tr.117)

Thực hành 3

Trong tam giác SAB có MM'//AB nên $\frac{SM}{SA}$=$\frac{SM'}{SB}$. Suy ra SM'=$\frac{16}{3}$.

Trong tam giác SAB có NN'//AB nên $\frac{SN}{SA}$=$\frac{SN'}{SB}$. Suy ra SN'=$\frac{28}{3}$ 

Do đó M'N'=SN'-SM'=4

Trong tam giác SAC, có MM''//AC nên $\frac{SM}{SA}$=$\frac{SM''}{SB}$. Suy ra SM''=$\frac{20}{3}$.

Trong tam giác SAC có NN''//AB nên  $\frac{SN}{SA}$=$\frac{SN''}{SB}$. Suy ra SN''=$\frac{35}{3}$. 

Do đó M''N''=SN''-SM''=5

N''C=SC-SN''=$\frac{10}{3}$. 

5. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

a) Hình lăng trụ

HĐKP 6

- Có hai mặt phẳng song song với nhau.

- Có chứa các đường thẳng song song với nhau.

Kết luận

Cho hai mặt phẳng song song (P) và P'. Trên (P) cho đa giác lồi A$_{1}$A$_{2}$,A$_{n}$. Qua các đỉnh A$_{1}$,A$_{2}$,…,A$_{n}$ vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt mặt phẳng P' tại A$_{1}$',A$_{2}$',…,A$_{n}$'. Hình tạo bởi các hình bình hành  và các tứ giác A$_{1}$A$_{1}$'A$_{2}$'A'$_{1}$,A$_{2}$A$_{3}$A$_{3}$'A'$_{2}$,…,AnA$_{1}$A$_{1}$'An' và hai đa giác A$_{1}$A$_{2}$A$_{n}$, A$_{1}$'A$_{2}$'A$_{n}$' được gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là A$_{1}$A$_{2}$A$_{n}$.A$_{1}$'A$_{2}$'A$_{n}$'.

- Trong hình lăng trụ ta gọi

+ Hai đa giác A$_{1}$A$_{2}$A$_{n}$ và A$_{1}$'A$_{2}$'A$_{n}$' là hai mặt đáy nằm trên hai mặt phẳng song song;

+ Các điểm A$_{1}$,A$_{2}$,…,A$_{n}$ và A$_{1}$',A$_{2}$',…,A$_{n}$' là các đỉnh;

+ Các hình bình hành A$_{1}$A$_{1}$'A$_{2}$'A$_{2}$,A$_{2}$A$_{2}$'A$_{3}$'A$_{3}$,…,A$_{n}$A$_{n}$'A$_{1}$'A$_{1}$ là các mặt bên của hình lăng trụ;

+ Các đoạn thẳng A$_{1}$A$_{1}$',A$_{2}$A$_{2}$',…,A$_{n}$A$_{n}$' là các cạnh bên. Các cạnh bên song song và bằng nhau. 

+ Các cạnh của hai đa giác đáy là các cạnh đáy. Các cạnh đáy tương ứng song song và bằng nhau.

Chú ý:

Hình lăng trụ có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,... tương ứng được gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác,...

Ví dụ 5 (SGK -tr.118)

b) Hình hộp

Do ABCD là hình bình hành nên AB//CD, AD//BC.

a) (ABCD)//(A'B'C'D'), (ABB'A') cắt hai mặt phẳng đó lần lượt tại AB và A'B' nên AB//A'B'.

Mà AA'// BB', 

Mặt bên ABB'A' là hình bình hành.

Tương tự ta có mặt bên BCC'B', CDD'C', ADD'A' là hình bình hành

+) Ta có: CD//C'D', A'B'//AB mà AB//CD nên C'D'//A'B'

B'C'//BC, A'D'//AD mà BC//AD nên B'C'//A'D'

Suy ra mặt đáy A'B'C'D' là hình bình hành.

b) (ABCD)//(A'B'C'D'), (ACC'A') cắt hai mặt phẳng đó lần lượt tại AC và A'C' nên AC//A'C'

Mà AA'//CC' 

Suy ra ACC'A' là hình bình hành.

Tương tự ta ó BB'D'D là hình bình hành

c) Ta có ACC'A' là hình bình hành nên AC', A'C là cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (1)

BDD'B' là hình bình hành nên BD', B'D là cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (2)

Ta có (ABCD)//(A'B'C'D'), (ABC'D') cắt hai mặt phẳng đó lần lượt tại AB và C'D' nên AB//C'D'

Mà ABCD là hình bình hành nên AB = DC; DCC'D' là hình bình hành nên DC=D'C'. Do dó AB=C'D'

Suy ra ABC'D' là hình bình hành. Nên AC' và BD' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra A'C, AC', B'D, BD' có cùng trung điểm.

Kết luận

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Trong một hình hộp ta có

+ Sáu mặt là hình bình hành. Mỗi mặt đều có một mặt song song với nó. Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.

+ Hai đỉnh không cùng nằm trên một mặt gọi là hai đỉnh đối diện.

+ Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo.

+ Bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ví dụ 6 (SGK -tr.119)

Thực hành 4

Mặt phẳng (α) cắt hai mặt phẳng song song (ABB'A') và (CDD'C') lần lượt tại NP và SR nên NP//SR

Mặt phẳng (α) cắt hai mặt phẳng song song (ADD'A') và (BDD'B') lần lượt tại MS và PQ nên PQ//MS

Mặt phẳng (α) cắt hai mặt phẳng song song (ABCD) và (A'B'C'D') lần lượt tại MN và QR nên MN//QR

Vận dụng 3

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.