CHƯƠNG III: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

a) Giới hạn 0 của dãy số

HĐKP 1: u$_{n}$=$\frac{(-1)^{n}}{n}$

a) 

b) |u$_{n}$|=$\frac{1}{n}$. 

Ta có: $\frac{1}{n}$<0,01 khi n>100;

$\frac{1}{n}$<0,001 khi n>1000.

c) 

Khoảng cách từ u$_{n}$ đến 0 trở nên rất bé khi n trở nên rất lớn.

Kết luận

Ta nói dãy số u$_{n}$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u$_{n}$| nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu u$_{n}$  =0 hay u$_{n}$$\rightarrow $0 khi n$\rightarrow $+∞. Ta còn viết là lim⁡u$_{n}$=0.

Ví dụ 1 (SGK – tr.64)

Với dãy số u$_{n}$=$\frac{(-1)^{n}}{n}$ ở P, sử dụng định nghĩa, chứng tỏ rằng lim u$_{n}$=0.

Giải

Với số thực dương d bé tuỳ ý cho trước, lấy số tự nhiên N sao cho N>$\frac{1}{d}$. Khi đó, với mọi số tự nhiên n sao cho nN, ta có |u$_{n}$|=|$\frac{(-1)^{n}}{n}$|=$\frac{1}{N}$<d.

Theo định nghĩa, limu$_{n}$=0.

Giới hạn cơ bản:

lim$\frac{1}{n^{k}}$=0, với k nguyên dương bất kì.

lim⁡q$^{n}$=0, với q là số thực thoả mãn q<1.

Ví dụ 2 (SGK – tr. 65)

Thực hành 1:

a) lim$\frac{1}{n^{2}}$=0 vì lim$\frac{1}{n^{k}}$=0, với k nguyên dương bất kì.

b) lim(-$\frac{3}{4}$)$^{2}$=0 vì lim⁡q$^{n}$=0, với q là số thực thoả mãn q<1, trong trường hợp này q=-$\frac{3}{4}$.

b) Giới hạn hữu hạn của dãy số

HĐKP 2:

a) v$_{n}$=u$_{n}$-2=$\frac{1}{n}$

lim v$_{n}$=lim$\frac{1}{n}$=0

b) u$_{1}$=3

u$_{2}$=$\frac{5}{2}$

u$_{3}$=$\frac{7}{3}$

u$_{4}$=$\frac{9}{4}$

Nhận xét: Điểm un càng dần đến điểm 2 khi n trở nên rất lớn.

Kết luận:

Ta nói dãy số u$_{n}$ có giới hạn hũu hạn là số a (hay u$_{n}$ dần tới a ) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim (u$_{n}$-a)=0. Khi đó, ta viết u$_{n}$ =a hay lim⁡u$_{n}$=a hay u$_{n} \rightarrow $a khi n$\rightarrow $+∞.

Chú ý: Nếu u$_{n}$=c(c là hằng số) thì lim⁡u$_{n}$=lim⁡c=c.

Ví dụ 3 (SGK – tr.65)

Thực hành 2:

a) lim(2+($\frac{2}{3}$)$^{n}$-2)=lim($\frac{2}{3}$)$^{n}$=0, suy ra lim(2+($\frac{2}{3}$)$^{n}$)=2.

b) lim($\frac{1-4n}{n}$-(-4))=lim($\frac{1}{n}$)=0, suy ra lim($\frac{1-4n}{n}$)=-4.

2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

HĐKP 3:

a) lim3=3;lim$\frac{1}{n^{2}}$=0

b) lim(3+$\frac{1}{n^{2}}$)=lim3+lim$\frac{1}{n^{2}}$.

Kết luận

Cho lim⁡u$_{n}$=a,lim⁡v$_{n}$=b và c là hằng số. Khi đó:

• lim(u$_{n}$+v$_{n}$)=a+b

• lim(u$_{n}$-v$_{n}$)=a-b

• lim(c.u$_{n}$)=c.a

• lim(u$_{n}$.v$_{n}$)=a.b

• lim$\frac{u_{n}}{v_{n}}$=$\frac{a}{vb}$(b≠0)

• Nếu u$_{n}$≥0,∀nN* thi a≥0 và lim$\sqrt{u_{n}}$=$\sqrt{a}$

Ví dụ 4 (SGK – tr.66)

Thực hành 3:

a) lim$\frac{2n^{2}+3n}{n^{2}-1}$=lim$\frac{2+3\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n^{2}}}$=$\frac{lim(2+3\frac{1}{n})}{lim(1-\frac{1}{n^{2}})}$=$\frac{lim2+3\frac{1}{n}}{lim1-\frac{1}{n^{2}}}$=$\frac{2+3.0}{1-0}$=2;

b) lim$\frac{\sqrt{4n^{2}+3}}{n}$=lim$\sqrt{\frac{4n^{2}+3}{n}}$=$\sqrt{lim(4+\frac{3}{n^{2}})}$=$\sqrt{lim4+3.lim\frac{1}{n^{2}}}$=$\sqrt{4+3.0}$=2

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

HĐKP 4:

a) u$_{k}$=$\frac{1}{2^{k}}$,k=1,2,3,

b) S$_{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^{2}}$+$\frac{1}{2^{3}}$+…+$\frac{1}{2^{n}}$=$\frac{1}{2}$.-$\frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{2^{n}}$

c) lim⁡S$_{n}$=lim(1-$\frac{1}{2^{n}}$)=lim1-lim$\frac{1}{2^{n}}$=1-0=1. 

Giới hạn này bằng diện tich của hình vuông ban đầu.

Kết luận:

Cấp số nhân vô hạn u$_{n}$ có công bội q thoả mãn |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lủi vô hạn này có tổng là

S=u$_{1}$+u$_{2}$+…+u$_{n}$+…=$\frac{u_{1}}{1-q}$.

Thực hành 4:

Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u$_{1}$=1 và công bội q=$\frac{1}{3}$

1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}^{2}$+…+$\frac{1}{3}^{n}$+…1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}^{2}$+…+$\frac{1}{3}^{n}$+…=$\frac{1}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$.

Vận dụng 1:

S=$\pi $R$^{2}$+2$\pi $($\frac{R}{2}$)$^{2}$+4$\pi $($\frac{R}{4}$)$^{2}$+…+2$^{n} \pi $($\frac{R}{2^{n}}$)$^{2}$+

=$\pi $R$^{2}$(1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^{2}}$+…+$\frac{1}{2^{n}}$+…)

=$\pi $R$^{2} \frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2$\pi $R$^{2}$

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC

HĐKP 5: 

a) u$_{n}$=n$^{2}$,n=1,2,3,…

u$_{n}$=n$^{2}$>10000=100$^{2}$<=>n>100;

u$_{n}$=n$^{2}$>1000000=1000$^{2}$<=>n>1000.

b) u$_{n}$=n$^{2}$>S<=>n>$\sqrt{S}$. Vậy với những số tự nhiên n>S thi u$_{n}$>S.

Kết luận:

+ Ta nói dãy số u$_{n}$ có giới hạn là +∞ khi n$\rightarrow $+∞ nếu u$_{n}$ lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, ki hiệu limu$_{n}$=+∞ hay u$_{n} \rightarrow $+∞ khi n$\rightarrow $+∞.

+ Ta nói dãy số u$_{n}$ có giói hạn là -∞ khi n$\rightarrow $+∞ nếu lim(-u$_{n}$)=+∞, kí hiệu limu$_{n}$=-∞ hay u$_{n} \rightarrow $-∞ khi n$\rightarrow $+∞.

Chú ý: Ta có các kết quả sau:

a) u$_{n}$ =+∞ khi và chỉ khi  (-u$_{n}$) =-∞;

b) Nếu u$_{n}$ =+∞ hoặc u$_{n}$ =-∞

thì $\frac{1}{u_{n}}$ =0

c) Nếu u$_{n}$ =0 và u$_{n}$>0 với mọi n thì $\frac{1}{u_{n}}$ =+∞.

Ví dụ 7 (SGK – tr.69)

Nhận xét:

a) lim⁡n$^{k}$=+∞(k$\in $N,k≥1);

b) lim q$^{n}$=+∞(q>1).