Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim(2+\frac{5}{n})$

b) $lim(\frac{3}{n}-\frac{2}{n^{2}})$

c) $lim(3-\frac{4}{n})(2+\frac{5}{n^{2}})$

d) $lim\frac{3-\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n^{3}}}$

Trả lời:

a) $lim(2+\frac{5}{n})=2+0=2$

b) $lim(\frac{3}{n}-\frac{2}{n^{2}})=0-0=0$

c) $lim(3-\frac{4}{n})(2+\frac{5}{n^{2}})=(3-0).(2+0)=6$

d) $lim\frac{3-\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n^{3}}}=\frac{3-0}{1+0}=3$

Bài 2: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\frac{2n-3}{6n+1}$

b) $lim\frac{3n-1}{n^{2}+n}$

c) $lim\frac{(2n-1)(2n+3)}{2n^{2}+4}$

d) $lim\frac{4n+1}{\sqrt{n^{2}+3n}+n}$

e) $lim\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

g) $lim\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}-n}$

Trả lời:

a) $lim\frac{2n-3}{6n+1}=lim\frac{2-\frac{3}{n}}{6+\frac{1}{n}}=\frac{2-0}{6+0}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

b) $lim\frac{3n-1}{n^{2}+n}=\frac{\frac{3}{n}-\frac{1}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{0-0}{1+0}=0$

c) $lim\frac{(2n-1)(2n+3)}{2n^{2}+4}=lim\frac{(2-\frac{1}{n})(2+\frac{3}{n})}{2+\frac{4}{n^{2}}}=\frac{2.2}{2}=2$

d) $lim\frac{4n+1}{\sqrt{n^{2}+3n}+n}=lim\frac{4+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}=\frac{4}{1+1}=2$

e) $lim\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

$=lim\frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$=lim\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$=lim\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$

$=\frac{1}{\sqrt{1+0}-1}=\frac{1}{2}$

g) $lim\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}-n}$

$=lim\frac{\sqrt{n^{2}+n}+n}{(\sqrt{n^{2}+n}-n)(\sqrt{n^{2}+n}+n)}$

$=lim\frac{\sqrt{n^{2}+n}+n}{n}$

$=lim(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)=2$

Bài 3: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim(\frac{\sqrt{3}}{2})^{n}$

b) $lim\frac{3^{n}}{4^{n}-1}$

c) $lim\frac{3^{n}-2^{n}}{3^{n}+2^{n}}$

d) $lim\frac{4^{n+1}}{3^{n}+4^{n}}$

Trả lời:

a) $lim(\frac{\sqrt{3}}{2})^{n}=0$ (Vì $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$)

b) $lim\frac{3^{n}}{4^{n}-1}=lim\frac{(\frac{3}{4})^{n}}{1-(\frac{1}{4})^{n}}=\frac{0}{1-0}=0$

c) $lim\frac{3^{n}-2^{n}}{3^{n}+2^{n}}=lim\frac{1-(\frac{2}{3})^{n}}{1+(\frac{2}{3})^{n}}=\frac{1-0}{1+0}=1$

d) $lim\frac{4^{n+1}}{3^{n}+4^{n}}=lim\frac{4}{(\frac{3}{4})^{n}+1}=\frac{4}{0+1}=4$

Bài 4: Cho hai dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ có $limu_{n}=3, limv_{n}=4$. Tìm các giới hạn sau:

a) $lim(3u_{n}-4)$

b) $lim(u_{n}+2v_{n})$

c) $lim(u_{n}-v_{n})^{2}$

d) $lim\frac{-2u_{n}}{v_{n}-2u_{n}}$

Trả lời:

a) $lim(3u_{n}-4)=3limu_{n}-4=3.3-4=5$

b) $lim(u_{n}+2v_{n})=limu_{n}+2limv_{n}=3+2.4=11$

c) $lim(u_{n}-v_{n})^{2}=lim(u_{n}^{2}-2u_{n}v_{n}+v_{n}^{2})$

$=(limu_{n})^{2}-2limu_{n}.limv_{n}+(limv_{n})^{2}=3^{2}-2.3.4+4^{2}=1$

d) $lim\frac{-2u_{n}}{v_{n}-2u_{n}}=\frac{-3.2}{4-2.3}=3$

Bài 5: Cho dãy số $(u_{n})$ thoả mãn $limnu_{n}=3$. Tìm giới hạn $lim\frac{2n+3}{n^{2}u_{n}}$

Trả lời:

$lim\frac{2n+3}{n^{2}u_{n}}$

$=lim(\frac{2n+3}{n}.\frac{1}{nu_{n}})$

$=lim\frac{2n+3}{n}.lim\frac{1}{nu_{n}}$

$=lim(2+\frac{3}{n}).\frac{1}{limnu_{n}}$

$=2.\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Bài 6: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim(1+3n-n^{2})$

b) $lim\frac{n^{3}+3n}{2n-1}$

c) $lim(\sqrt{n^{2}-n}+n)$

d) $lim(3^{n+1}-5^{n})$

Trả lời:

a) $lim(1+3n-n^{2})=lim[n^{2}.(\frac{1}{n^{2}}+\frac{3}{n}-1)]=-\infty$

b) $lim\frac{n^{3}+3n}{2n-1}=lim[n^{2}.\frac{1+\frac{3}{n^{2}}}{2-\frac{1}{n}}]=+\infty$

c) $lim(\sqrt{n^{2}-n}+n)=lim[n(\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1)]=+\infty$

d) $lim(3^{n+1}-5^{n})=lim{5^{n}[3.(\frac{3}{5})^{n}-1]}=-\infty$

Bài 7: Tuỳ theo giá trị của a > 0, tìm giới hạn $lim\frac{a^{n}}{a^{n}+1}$

Trả lời:

Nếu 0 < a < 1 thì $lima^{n}=0$ nên $lim\frac{a^{n}}{a^{n}+1}=\frac{lima^{n}}{lima^{n}+1}=\frac{0}{0+1}=0$

Nếu a = 1 thì $lim\frac{a^{n}}{a^{n}+1}=lim\frac{1^{n}}{1^{n}+1}=lim\frac{1}{1+1}=lim\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Nếu a > 1, ta viết $\frac{a^{n}}{a^{n}+1}=\frac{1}{1+(\frac{1}{a})^{n}}$ 

Do a > 1 nên $0 <\frac{1}{a}<1$, suy ra $lim(\frac{1}{a})^{n}=0$.

Suy ra $lim\frac{a^{n}}{a^{n}+1}=lim\frac{1}{1+(\frac{1}{a})^{n}}=\frac{1}{1+lim(\frac{1}{a})^{n}}=\frac{1}{1+0}=1$

Vậy $lim\frac{a^{n}}{a^{n}+1}$ bằng 0 nếu 0 < a < 1, bằng $\frac{1}{2}$ nếu a = 1 và bằng 1 nếu a > 1

Bài 8: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn:

a) $1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{5^{3}}+...+(-\frac{1}{5})^{n}+...$

b) $2+\frac{2^{2}}{3}+\frac{2^{3}}{3^{2}}+...+\frac{2^{n}}{3^{n-1}}+...$

Trả lời:

a) $1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{5^{3}}+...+(-\frac{1}{5})^{n}+...$

$=1.\frac{1}{1-(-\frac{1}{5})}=\frac{5}{6}$

b) $2+\frac{2^{2}}{3}+\frac{2^{3}}{3^{2}}+...+\frac{2^{n}}{3^{n-1}}+...$

$=2.\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=6$

Bài 9: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số:

a) 0,(7) = 0,777…;

b) 1,(45) = 1,454545…

Trả lời:

a) $0,(7)=\frac{7}{9}$

b) $1,(45)=1+0,(45)=1+\frac{45}{99}=1+\frac{5}{11}=\frac{16}{11}$

Bài 10: Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với $100m^{3}$ ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, sau quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

Trả lời:

Lượng nước được sử dụng tại nhà máy qua các lần lần lượt là: 100; 100.80%; 100.(80%)$^{2}$; 100.(80%)$^{3}$;…

Đây là dãy số cấp số nhân lùi vô hạn với q = 80% = 0,8

Vậy tổng lượng nước nhà máy sử dụng được là:

$\frac{100}{1-0,8}=500 (m^{3})$

Bài 11: Cho tam giác $OA_{1}A_{2}$ vuông cânt ại $A_{2}$ có cạnh huyền $OA_{1}$ bằng a. Bên ngoài tam giác $OA_{1}A_{2}$, vẽ tam giác $OA_{2}A_{3}$ vuông cân tại $A_{3}$. Tiếp theo, bên ngoài tam giác $OA_{2}A_{3}$, vẽ tam giác $OA_{3}A_{4}$ vuông cân tại $A_{4}$. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}...$

Trả lời:

Ta có các góc $\widehat{A_{1}OA_{2}}, \widehat{A_{2}OA_{3}}, \widehat{A_{3}OA_{4}},...$ đều bằng $45^{o}$. Ta có:

$A_{1}A_{2}=OA_{2}=OA_{1}.cos45^{o}=a\frac{\sqrt{2}}{2}$

$A_{2}A_{3}=OA_{3}=OA_{2}.cos45^{o}=a\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=a.(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$

$A_{3}A_{4}=OA_{4}=OA_{3}.cos45^{o}=a(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=a(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3}$

….

Vậy độ dài các đoạn thẳng $A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},A_{3}A_{4},...$ tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và công bội bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Do đó độ dài đường gấp khúc $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}...$ là:

$\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=a(1+\sqrt{2})$

Bài 12: Cho tam giác OMN vuông cân tại O, OM = ON = 1. Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông $OA_{1}B_{1}C_{1}$ sao cho các đỉnh $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN< ON. Trong tam giác $A_{1}MB_{1}$, vẽ hình vuông $A_{1}A_{2}B_{2}C_{2}$ sao cho các đỉnh $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ lần lượt nằm trên các cạnh $A_{1}M, MB_{1}, A_{1}B_{1}$. Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.

Trả lời:

Độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là:

$a_{1}=\frac{1}{2}$

$a_{2}=\frac{1}{2}a_{1}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^{2}$

$a_{3}=\frac{1}{2}a_{2}=\frac{1}{2}.(\frac{1}{2})^{2})=(\frac{1}{2})^{3}$

…

Diện tích của các hình vuông lần lượt là:

$S_{1}=a_{1}^{2}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$

$S_{2}=a_{2}^{2}=[(\frac{1}{2})^{2}]^{2}=(\frac{1}{4})^{2}$

$S_{3}=a_{3}^{2}=[(\frac{1}{2})^{3}]^{2}=[(\frac{1}{2})^{2}]^{3}=(\frac{1}{4})^{3}$

….

Các diện tích $S_{1},S_{2},S_{3},...$ tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $S_{1}=\frac{1}{4}$ và công bội bằng $\frac{1}{4}$

Do đó, tổng diện tích các hình vuông là $S=\frac{1}{4}.\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$

Bài 13: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: x + y = 2 cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng $d_{n}$: $y=\frac{2n+1}{n}x$ tại điểm $P_{n} ( n\in \mathbb{N}^{*})$. Kí hiệu $S_{n}$ là diện tích của tam giác $OAP_{n}$. Tìm $limS_{n}$.

Trả lời:

Ta có: $A(2;0); P_{n}(\frac{2n}{3n+1};\frac{4n+2}{3n+1}); OA=2;AP_{n}=\frac{4n+2}{3n+1}.\sqrt{2}; \widehat{OAP_{n}} = 45^{o}$

$S_{n}=\frac{1}{2}.OA.AP_{n}.sin\widehat{OAP_{n}}=\frac{1}{2}.2\frac{4n+2}{3n+1}.\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4n+2}{3n+1}$

$limS_{n}=lim\frac{4n+2}{3n+1}=lim\frac{4+\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}=\frac{4}{3}$