BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX

Bài tập 9.36: Cho tam giác ABC góc BAC là góc tù. Lấy điểm D nằm giữa A và B, lấy điểm E nằm giữa A và C (H.9.51). Chứng minh DE < BC.

Giải nhanh:

Vì là góc tù nên , là các góc nhọn=> là góc tù.

=>DC >DE (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác DEC). (1)

Xét tam giác ADC có: là góc tù nên , là các góc nhọn; là góc tù.=>BC >DC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC > DE

Bài tập 9.37: Cho tam giác ABC ( AB> AC). Trên đường thẳng chứa cạnh BC, lấy điểm D và điểm E sao cho B nằm giữa B D và C, C nằm giữa B và E, BD = BA, CE= CA ( H.9.52)

a) So sánh góc ADE và góc AED

b) So sánh các đoạn thẳng AD và AE

Giải nhanh:

a)AB > AC =>  <  

+ = 180° => = 180°-

+ = 180° => = 180°-

180°- < 180°- => <

Tam giác ABD cân tại B => = 180°- 2

Tam giác ACE cân tại C => = 180°- 2

180°- 2 >  180°- 2 => <

b) Xét tam giác ADE ta có : < => AD > AE

Bài tập 9.38: Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng

a) AI < ( AB + AC)                 b) AM < ( AB + AC)

Giải nhanh:

a) AI là đường cao từ A xuống đoạn thẳng BC=> AI là khoảng cách từ A đến BC => AI ngắn nhất => AI < AB và AI < AC

Cộng 2 vế với nhau ta có : 2 AI < AB + AC  => AI < (AB + AC)

b) Lấy D sao cho M là trung điểm của AD

Xét ∆ ABM và ∆ DCM có AM = DM;  BM=CM;  =  

=>  ∆ ABM = ∆ DCM  =>AB = CD

Xét  ∆ ADC: AD < AC + CD  =>   2AM < AC + AB =>   AM < (AB + AC)

Bài tập 9.39: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD= 2 DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.53). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A

Gợi ý D là trọng tâm của tam gíac ABE, tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là trung tuyến.

Giải nhanh:

C là trung điểm của AE => BC là trung tuyến của tam giác ABE (1)

BD= 2DC => BC= BD + DC = 2DC + DC = 3DC => DC = BC (2)

Từ (1) và (2)=> D là trọng tâm của tam giác ABE

=> AD là đường trung tuyến ứng với BE

mà AD là đường phân giác của         => Tam giác ABE cân tại A