BÀI 16. TAM GIÁC CÂN, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG

1. TAM GIÁC CÂN VÀ TÍNH CHẤT

Bài 1: Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng.

Giải nhanh:

Bài 2: Quan sát tam giác ABC cân tại A như Hình 4.60. Lấy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Giải nhanh:

(c.c.c) vì: AB = AC, BD = CD, AD là cạnh chung.

Do đó .

Bài 3: Cho tam giác MNP có Mˆ= Nˆ.  Vẽ tia phân giác PK của tam giác MNP (K∈MN).

Chứng minh rằng:

a. MKPˆ= NKPˆ                                          b.  ΔMPK= ΔNPK

c. Tam giác MNP có cân tại PP không?

Giải nhanh:

a)

b) (g.c.g) vì và là cạnh chung.

MP = NP nên tam giác MNP cân tại P.

Bài 4: Tính số đo các góc và các cạnh chưa biết của tam giác DEF trong Hình 4.62.

Giải nhanh:

cân tại F, nên .

Do đó .

Vậy cũng cân tại D, do đó DE = DF = 4cm.

Bài 5: Một tam giác có gì đặc biệt nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau:

a. Tam giác có ba góc bằng nhau?

b. Tam giác cân có một góc bằng 60°?

Giải nhanh:

a) tam giác đều.              b) tam giác đều.

2. ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

Bài 1: Đánh dấu hai điểm A và B nằm trên hai mép tờ giấy A4, nối A và B để được đoạn thẳng AB. Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau. Mở mảnh giấy ra, kẻ một đường thẳng d theo nếp gấp.

a. Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

b. Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?

Giải nhanh:

a) O là trung điểm của đoạn AB.        b) Đường thẳng d vuông góc với AB.

Bài 2: Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

Giải nhanh:

Hình a) Lan vẽ đúng.

Bài 3: Trên mảnh giấy trong HĐ3, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có bằng BM không (H.4.65).

Giải nhanh:

AM = BM.

Bài 4: Cho M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AM = 3 cm và MABˆ=60∘ (H.4.67). Tính BM và số đo góc MBA.

Giải nhanh:

Do M nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên MA = MB = 3 cm.

cân tại M nên

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 4.23: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC; BF vuông góc với AB ( hình 4.69 ). Chứng minh rằng BE = CF. 

Giải nhanh:

(cạnh huyền – góc nhọn) vì: là cạnh chung,  

Bài 4.24: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Giải nhanh:

(c.g.c) vì: , .

Do đó , hay là tia phân giác của góc .

, hay .

Bài 4.25: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a. Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b. Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Giải nhanh:

a) vì: là cạnh chung. 

Do đó hay cân tại .

b) Cách 1: Trên tia AM lấy điểm I sao cho AM = MI.

Chứng minh , từ đó suy ra tam giác cân tại .

Bài 4.26: Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân. Hãy giải thích các khẳng định sau:

a. Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b. Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°;

c. Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45° là tam giác vuông cân.

Giải nhanh:

a) Nếu tam giác vuông cân tại góc nhọn thì sẽ có hai góc ở đáy bằng nhau và đều là góc vuông. Do đó tổng ba góc lớn hơn và vô lí.

b) tam giác vuông cân sẽ cân tại góc vuông, do vậy hai góc nhọn bằng nhau và có tổng bằng . Do đó mỗi góc nhọn bằng .

c) Tam giác vuông có một góc bằng thì góc nhọn còn lại phụ với góc này và cũng bằng . => tam giác vuông cân.

Bài 4.27: Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB ?

Giải nhanh:

là đường trung trực .

Bài 4.28: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Giải nhanh:

vì: .

Do đó . Vậy là trung trực của đoạn thẳng .