BÀI 3. GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Hoạt động 1 trang 15 

Cho hệ phương trình

Thực hiện giải hệ phương trình này theo hướng dẫn sau:

- Từ phương trình (1), hãy biểu diễn x theo y

- Thế x được biểu diễn ở trên vào phương trình (2), để nhận được một phương trình một ẩn y

- Giải phương trình ẩn y đó, rồi suy ra nghiệm của hệ

Giải rút gọn:

Từ phương trình (1) ta có: x – 2y = 1 => x = 1 + 2y

Thế x = 1 + 2y vào (2) ta có: -2(2 + 2y) + 3y = -1

=> -4 – 4y + 3y = -1

=> -4 – y = -1

=> y = -3

=> x = 1 + 2.(-3) = -5

Thực hành 1 trang 16 

Giải các hệ phương trình:

a)

b)

c)

Giải rút gọn:

a)

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

b)

<=>

<=>

<=> Hệ phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

c)

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm

2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

Hoạt động 2 trang 17 

Cho hai hệ phương trình

a) (I)

b) (II)

Giải rút gọn:

a) (I)

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

b)

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Thực hành 2 trang 18 

a)

b)

Giải rút gọn:

a)

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

b)

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Vận dụng 1 trang 18 

Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2; -2) và B(-1; 3)

Giải rút gọn:

Để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A thì phải thoả mãn phương trình

-2 = 2a + b (I)

Để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm B thì phải thoả mãn phương trình

3 = -a + b (II)

Từ (I) và (II) ta có hệ phương trình

<=> 

<=> 

<=> 

<=> 

Vậy để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2; -2) và B(-1; 3) thì a = -5/3 và b = 4/

3. TÌM NGHIỆM CỦA HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Thực hành 3 trang 19 

Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau bằng máy tính cầm tay:

a)

b)

Giải rút gọn:

a)

b)

4. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Hoạt động 3 trang 19 

Hai lớp 9A và 9B có tổng số 82 học sinh. Trong dịp tết trồng cây năm 2022, mỗi học sinh lớp 9A trồng được 3 cây, mỗi học sinh lớp 9B trồng được 4 cây nên cả hai lớp trồng được tổng số 288 cây.

Gọi x,y lần lượt là số học sinh lớp 9A và lớp 9B(xN*, yN*)

a) Từ dữ liệu đã cho, lập hai phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị số học sinh của hai lớp và số cây trồng được

b) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và cho biết mỗi lớp có bao nhiêu học sinh

Giải rút gọn:

Gọi x,y lần lượt là số học sinh lớp 9A và lớp 9B(xN*, yN*)

Ta có: Hai lớp có tổng số 82 học sinh

=> x + y = 82 (I)

Lại có: mỗi học sinh lớp 9A trồng được 3 cây, mỗi học sinh lớp 9B trồng được 4 cây nên cả hai lớp trồng được tổng số 288 cây.

=> 3x + 4y = 288 (II)

Từ (I) và (II) ta có hệ phương trình:

b) Ta có

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy lớp 9A có 40 học sinh, lớp 9B có 42 học sinh.

Thực hành 4 trang 20 

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 64m. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 88m². Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn đó.

Giải rút gọn:

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là d,r. (m) (d,r > 0)

Ta có chu vi: 2d + 2r = 64 (I)

Lại có dr + 88 = (d + 3)(r + 2) 

<=> dr + 88 = dr + 3r +2d + 6

<=>3r + 2d =82 (II)

Từ (I) và (II) ta có hệ phương trình

<=> (thoả mãn điều kiện)

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 18m và chiều rộng là 14m

Thực hành 5 trang 20 

Cân bằng phương trình hoá học sau bằng phương pháp đại số

NO + O₂ NO₂

Giải rút gọn:

Gọi x,y,z lần lượt là hệ số của NO, O_2, NO₂ thoả mãn cân bằng phương trình hoá học

xNO + yO₂ zNO₂

Cân bằng nguyên tử NO, số nguyên tử O ở hai vế ta được hệ:

Chọn z = 2, suy ra x = 2, y = 1

Vậy phương trình được cẩn bằng như sau: 

2NO + O₂ 2NO₂

Vận dụng 2 trang 20 

Tại một cửa hàng, chị An mua 1,2 kg thịt lợn và 0,7 kg thịt bò hết 362 000 đồng; chị Ba mua 0,8 kg thịt lợn và 0,5 kg thịt bò cùng loại hết 250 000 đồng. Làm thế nào để tính được giá tiền 1 kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò?

Giải rút gọn:

Gọi giá tiền 1kg thịt lợn là x (đồng), giá tiền 1kg thịt bò là y(đồng) (ĐK: x,y > 0)

Ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta có: x = 150 000(đồng), y = 260 000(đồng) (thoả mãn đk)

Vậy giá tiền 1kg thịt lợn là 150 000 đồng và giá tiền 1kg thịt bò là 260 000 đồng

5. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Bài 1 trang 21 

Giải các hệ phương trình:

a)

b)

c)

d)

Giải rút gọn:

a)

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

b)

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

c)

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

d)

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Bài 2 trang 21 

Giải các hệ phương trình: 

a)

b)

c)

d)

Giải rút gọn:

a)

<=>

=> Vô lí

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

b)

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là <=>

c)

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

d)

<=>

<=>

<=>

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Bài 3 trang 21 

Xác định a, b để đồ thị hàm số y trường hợp sau: = ax + b đi qua hai điểm A và B trong mỗi

a) A(1; 2) và B(3; 8);

b) A(2; 1) và B(4; -2).

Giải rút gọn:

a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(1;2) 

<=> a + b = 2 (1)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua B(3;8)

<=>3a + b = 8 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

<=>

<=>

Vậy a = 3; b = -1

b) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(2;1) 

<=> 2a + b = 1 (1)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua B(4;-2)

<=>34a + b = -2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

<=>

<=>

Vậy a = -3/2; b = 4

Bài 4 trang 21 

Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy. So với tháng thứ nhất, trong tháng thứ hai, tổ một sản xuất vượt 15%, tổ hai sản xuất vượt 20% nên trong tháng này, cả hai tổ đã sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Giải rút gọn:

Gọi x, y lần lượt là số chi tiết máy mỗi tổ sản xuất được trong tháng

thứ nhất (x, y ∈N)

Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy, nên có: x + y = 800

Trong tháng thứ hai, tổ một vượt 15%, tổ hai vượt 20%, số chi tiết máy tăng là: 0,15x + 0,2y = 945 - 800 = 145

Vậy x, y là nghiệm của hệ:

Giải hệ này, ta có:

=> x = 300 và y = 500

Vậy trong tháng thứ nhất tổ một sản xuất 300 chi tiết máy, tổ hai sản xuất 500 chi tiết máy.

Bài 5 trang 21 

Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo khoác xuất khẩu. Nếu tổ thứ nhất may trong 7 ngày và tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1540 chiếc áo. Biết rằng mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo. Hỏi trong một ngày mỗi tổ may được bao nhiêu chiếc áo? (Năng suất may áo của mỗi tổ trong các ngày này là như nhau).

Giải rút gọn:

Gọi x, y lần lượt là số áo mỗi tổ may được trong một ngày (x, y N*)

Tổ thứ nhất may trong 7 ngày và tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1540 chiếc áo, nên có:

7x + 5y = 1540

Mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo, nên có:

y-x = 20

Vậy, x và y là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy trong một ngày tổ một may được 120 chiếc áo, tổ hai may được 140 chiếc áo.

Bài 6 trang 21 

Trên một cánh đồng, người ta cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 660 tấn thóc. Hỏi năng suất lúa giống mới trên 1 ha bằng bao nhiêu? Biết rằng 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là 3 tấn.

Giải rút gọn:

Gọi năng suất trên một ha của lúa giống mới và cũ lần lượt là x, y ( tấn) (x, y>0)

Trên cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ thu hoạch được tất cả 640 tấn thóc: 60x + 40y = 640

3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 3 tấn: 4y – 3x = 3

Khi đó ta có hệ phương trình:

<=> 

<=>

Vậy năng suất 1 ha giống lúa mới là tấn/ha và năng suất 1 ha giống lúa cũ là tấn/ha

Bài 7 trang 21 

Cân bằng các phương trình hoá học sau bằng phương pháp đại số

a) Ag + Cl₂ → AgCl

b) CO₂ + C → CO

Giải rút gọn:

a) xAg + yCl₂→ zAgCI

Cân bằng số nguyên tử Ag và Cl được hệ: x = z và 2y = z

Chọn z = 2 => y = 1 và x = 2

Vậy 2Ag + Cl₂→2AgCl

b) xCO2 + yC → zCO

Cân bằng số nguyên tử C và O được hệ: x + y = z và 2x = z

Chọn z = 2 =>x = 1 và y = 1

Vậy CO₂ + C -> 2C