BÀI 1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC, ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

KHỞI ĐỘNG

Ba cụm dân cư A, B, C nối với nhau bởi ba con đường AB, BC, CA như trong hình dưới đây. Người ta muốn tìm địa điểm O để xây một trường học và địa điểm I để xây một trạm cứu hộ xe, sao cho O cách đều 3 điểm A, B, C và I cách đều ba con đường. Làm thế nào để xác định hai địa điểm O và I?

Giải rút gọn:

- Vẽ 3 đường trung trực của 3 đường thẳng AB, AC và BC, 3 đường này cắt nhau tại một điểm, điểm đó là điểm O.

- Vẽ 3 đường phân giác trong của các góc , , , 3 đường này cắt nhau tại một điểm, điểm đó là điểm I.

1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Hoạt động 1 (trang 65):

Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Gọi O là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB và BC (Hình 1).

a) So sánh độ dài của đoạn thẳng OA, OB và OC.

b) Vẽ đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.

Giải rút gọn:

a) O thuộc đường trung trực của AB.

OA = OB (1).

O thuộc đường trung trực của BC.

OC = OB (2).

Từ (1) và (2) OA = OB = OC 

b)

Thực hành 1 (trang 67):

Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác sau:

a) Tam giác đều MNP có cạnh bằng 4;

b) Tam giác EFG có EF = 5 cm; EG = 3 cm; FG = 4cm.

Giải rút gọn:

a) Vẽ đường cao MH của MNP, O MH sao cho OM = MH.

Do MNP đều nên O vừa là trọng tâm vừa là giao điểm của ba đường trung trực.

Đường tròn ngoại tiếp MNP có tâm O và bán kính:

R = OH = (cm).

b) Xét EFG:

 EF² = EG² + FG² (vì 3² + 4² = 5²)

EFG vuông tại G.

Gọi I là trung điểm của cạnh huyền EF. 

Xét EFG vuông tại G:

GI là đường trung tuyến của EF

IG = IE = IF = = R = 2,5 cm

Vậy đường tròn ngoại tiếp EFG có tâm I bán kính 2,5 cm

Vận dụng 1 (trang 67):

Có ba tổ dựng lều ở ba vị trí A, B, C như Hình 6. Ban tổ chức đặt ba thùng có dung tích bằng nhau tại một điểm tập kết chung. Mỗi tổ có sáu người, được phát một chiếc gàu giống nhau, các thành viên trong tổ chia thành từng cặp cõng nhau, múc nước từ tại của mình về đổ vào thùng tại điểm tập kết. Thùng của tổ nào đầy trước thì tổ đó chiến thắng. Để trò chơi công bằng, cần tìm điểm tập kết cách đều ba lều. Hãy xác định điểm đó.

Giải rút gọn:

- Điểm tập kết cách đều 3 Điểm tập kết O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.

- Xác định O: vẽ hai đường trung trực của ABC, 2 đường này giao nhau tại 1 điểm, điểm đó là điểm O.

2. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Hoạt động 2 (trang 67):

Gọi I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC. Vẽ ID, IE, IF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC và AB (Hình 7).

a) Chứng minh rằng IE = IF = ID.

b) Vẽ đường tròn tâm I bán kính IE. Có nhận xét gì về vị trí của đường tròn này với ba cạnh của tam giác ABC?

Giải rút gọn:

a) - Xét FBI và DBI có:

= 90^o

(do BI là phân giác góc );

IB chung.

FBI = DBI (ch – gn).

IF = ID (1).

- Xét IDC và IEC có:

= 90^o

(do IC là phân giác góc );

IC chung.

IDC = IEC (ch – gn).

ID = IE (2).

Từ (1) và (2) IE = IF = ID (đpcm)

b) Đường tròn này tiếp xúc với ba cạnh của tam giác tại các điểm F, D, E.

Thực hành 2 (trang 68):

Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP có độ dài cạnh bằng 8 cm.

Giải rút gọn:

Gọi O là giao điểm của 3 đường trung tuyến MA, NP và PC 

MNP đều nên MA, NB, PC đồng thời là ba đường trung trực và ba đường phân giác của tam giác.

O là tâm đường tròn nội tiếp MNP với bán kính:

r = OA = OB = OC =  (cm). 

Vận dụng 2 (trang 68):

Theo gợi ý trong Hình 10, nêu cách xác định hai điểm I và O của tình huống trong khởi động (trang 65).

Giải rút gọn:

- Vẽ 3 đường trung trực của 3 đường thẳng AB, AC và BC, 3 đường này cắt nhau tại một điểm, điểm đó là điểm O.

- Vẽ 3 đường phân giác trong của các góc , , , 3 đường này cắt nhau tại một điểm, điểm đó là điểm I.

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Bài 1 (trang 68): 

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 cm.

a) Nêu các vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Nêu các vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

c) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải rút gọn:

a) Kẻ ba đường trung trực AH, BK, CE của ABC, ba đường đó đồng quy tại điểm O O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, bán kính OA = R.

b) Vì ABC đều nên các đường trung trực của tam giác cũng đồng thời là đường phân giác O cũng là tâm đường tròn nội tiếp ABC, bán kính OH = r.

c) R = OA = (cm).

r = OH = (cm).

Bài 2 (trang 69):

Cho tam giác ABC ( AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính. Từ điểm O vẽ đường thẳng song song với AC và cắt đường tròn (O) tại I (điểm I thuộc cung nhỏ CB).

a) Chứng minh OI vuông góc với BC.

b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và cắt OI tại M. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải rút gọn:

a) Xét đường tròn (O) có:

là góc nội tiếp chắn cung AB

AB là đường kính

= 90^o 

AC BC 

Mà OI AC 

OI BC 

b) Xét OBC có:

OB = OC = R 

OBC cân tại O 

Mà OI là đường cao của OBC.

OI đồng thời là phân giác của OBC.

hay

Xét COM và BOM có:

OC = OB = R;

OM chung.

COM = BOM (c – g – c).

= 90^o 

OC MC 

MC là tiếp tuyến đường tròn (O).

Bài 3 (trang 69):

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, BC, AC (Hình 11).

a) Chứng minh 2AD = AB + AC – BC.

b) Tìm các hệ thức tương tự như ở câu a.

Giải rút gọn:

a) I là tâm đường tròn nội tiếp ABC

I là giao điểm của ba đường phân giác ABC

.

Xét ADI và AFI có:

= 90^o

AI chung.

ADI = AFI  (ch – gn).

AD = AF (1).

Chứng minh tương tự, ta được: BD = BE (2); FC = EC (3).

AB + AC – BC = AD + BD + AF + FC – BE – EC

Từ (1), (2), (3):

AB + AC – BC = AD + BE + AD + EC – BE – EC = 2AD (đpcm).

b)

2AF = AB + AC – BC;

2BD = 2BE = AB + BC – AC; 

2EC = 2FC = AC + BC – AB.

Bài 4 (trang 69):

Tính diện tích tam giác đều có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 cm.

Giải rút gọn:

Với a là độ dài cạnh của tam giác đều:

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều là r = = 1

(cm).

Đường cao của tam giác đều là: 

(cm).

Diện tích tam giác đều là:

(cm²).

Bài 5 (trang 69):

Một trại nuôi gia súc có dạng hình tam giác đều cạnh 100 m (Hình 12). Người ta muốn đặt một trụ đèn cao áp tại một điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Nêu cách xác định vị trí đặt đèn và tính khoảng cách từ điểm đó đến ba đỉnh của tam giác.

Giải rút gọn:

- Vị trí đặt đèn cách đều 3 đỉnh tam giác => Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều Vị trí: giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.

- Khoảng cách điểm đó đến 3 đỉnh tam giác chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp và bằng: (cm).