PHẦN SỐ VÀ ĐẠI SỐ

Ba cụm dân cư A, B, C nối với nhau bởi ba con đường AB, BC, CA như trong hình dưới đây. Người ta muốn tìm địa điểm O để xây một trường học và địa điểm I để xây một trạm cứu hộ xe, sao cho O cách đều 3 điểm A, B, C và I cách đều ba con đường. Làm thế nào để xác định hai địa điểm O và I?

Đáp án chuẩn:

- Vẽ 3 đường trung trực của 3 đường thẳng AB, AC và BC cắt nhau tại O.

- Vẽ 3 đường phân giác trong của các góc , , cắt nhau tại I.

1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

HĐ 1. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Gọi O là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB và BC (Hình 1).

a) So sánh độ dài của đoạn thẳng OA, OB và OC.

b) Vẽ đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.

Đáp án chuẩn:

a) OA = OB = OC

Thực hành 1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác sau:

a) Tam giác đều MNP có cạnh bằng 4;

b) Tam giác EFG có EF = 5 cm; EG = 3 cm; FG = 4cm.

Đáp án chuẩn:

a) Tâm O, R (cm)

b) Tâm I , R = 5 (cm)

Vận dụng 1. Có ba tổ dựng lều ở ba vị trí A, B, C như Hình 6. Ban tổ chức đặt ba thùng có dung tích bằng nhau tại một điểm tập kết chung. Mỗi tổ có sáu người, được phát một chiếc gàu giống nhau, các thành viên trong tổ chia thành từng cặp cõng nhau, múc nước từ tại của mình về đổ vào thùng tại điểm tập kết. Thùng của tổ nào đầy trước thì tổ đó chiến thắng. Để trò chơi công bằng, cần tìm điểm tập kết cách đều ba lều. Hãy xác định điểm đó.

Đáp án chuẩn:

Điểm tập kết O là giao điểm của ba đường trung trực của ABC

2. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

HĐ 2. Gọi I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC. Vẽ ID, IE, IF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC và AB (Hình 7).

a) Chứng minh rằng IE = IF = ID.

b) Vẽ đường tròn tâm I bán kính IE. Có nhận xét gì về vị trí của đường tròn này với ba cạnh của tam giác ABC?

Đáp án chuẩn:

a) FBI = DBI (ch-gn) IF = ID (1)

IDC = IEC (ch-gn) ID = IE (2)

Từ (1) và (2) IE = IF = ID

b) Đường tròn này tiếp xúc với ba cạnh của tam giác tại các điểm F, D, E.

Thực hành 2. Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP có độ dài cạnh bằng 8 cm.

Đáp án chuẩn:

r (cm).

Vận dụng 2. Theo gợi ý trong Hình 10, nêu cách xác định hai điểm I và O của tình huống trong khởi động (trang 65).

Đáp án chuẩn:

- Vẽ 3 đường trung trực của 3 đường thẳng AB, AC và BC cắt nhau tại O

- Vẽ 3 đường phân giác trong của các góc , , , cắt nhau tại I

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Bài 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 cm.

a) Nêu các vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Nêu các vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

c) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đáp án chuẩn:

a) Kẻ ba đường trung trực AH, BK, CE của ABC, ba đường đó đồng quy tại điểm O

b) O cũng là tâm đường tròn nội tiếp ABC

c) R (cm); r (cm)

Bài 2: Cho tam giác ABC ( AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính. Từ điểm O vẽ đường thẳng song song với AC và cắt đường tròn (O) tại I (điểm I thuộc cung nhỏ CB).

a) Chứng minh OI vuông góc với BC.

b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và cắt OI tại M. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Đáp án chuẩn:

a) = 90^o AC BC tại C, mà OI AC OI BC

b) COM = BOM (c – g – c) = 90^o hay OM MC

MC là tiếp tuyến đường tròn (O).

Bài 3: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, BC, AC (Hình 11).

a) Chứng minh 2AD = AB + AC – BC.

b) Tìm các hệ thức tương tự như ở câu a.

Đáp án chuẩn:

a) ADI = AFI (c – g – c).

AD = AF (1).

Chứng minh tương tự, ta được: BD = BE (2); FC = EC (3)

Ta có: AB + AC – BC = AD + BD + AF + FC – BE – EC (4).

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được: AB + AC – BC = 2AD (điều phải chứng minh).

b) Các hệ thức tương tự như ở câu a:

2AF = AB + AC – BC;

2BD = 2BE = AB + BC – AC;

2EC = 2FC = AC + BC – AB.

Bài 4: Tính diện tích tam giác đều có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 cm.

Đáp án chuẩn:

(cm²)

Bài 5: Một trại nuôi gia súc có dạng hình tam giác đều cạnh 100 m (Hình 12). Người ta muốn đặt một trụ đèn cao áp tại một điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Nêu cách xác định vị trí đặt đèn và tính khoảng cách từ điểm đó đến ba đỉnh của tam giác.

Đáp án chuẩn:

Vị trí đặt đèn là giá điểm của ba đường trung trực của tam giác.

Khoảng cách từ tâm đến đỉnh là (cm).