BÀI 3. GÓC Ở TÂM. GÓC NỘI TIẾP

1. GÓC Ở TÂM

Hoạt động 1 (trang 90): Cho hai điểm A, B trên đường tròn (O; R). Nêu nhận xét về đỉnh và cạnh của AOB.

Giải rút gọn:

OA = OB = R

Đỉnh trùng với tâm O của đường tròn

Thực hành 1 (trang 90) Tính số đo góc ở tâm EOA và AOB trong Hình 3. Biết AC và BE là 2 đường kính của đường tròn (O)

Giải rút gọn:

EOA = COB = 57^o

AOB = DOE + COD =  28^o + 95^o = 123^o

Vận dụng 1 (trang 91): Tính số đo góc ở tâm được tạo thành khi kim giờ quay:

a) Từ 7 giờ đến 9 giờ

b) Từ 9 giờ đến 12 giờ

Giải rút gọn:

a) 60^o

b) 90^o

2. CUNG, SỐ ĐO CUNG

Hoạt động 2 (trang 91): Vẽ vào vở đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm trên (O). Dùng bút chì khác màu tô hai phần của đường tròn được bân chia bởi 2 điểm A và B

Giải rút gọn:

Hoạt động 3 (trang 91): Cho OA và OB là hai bán kính vuông góc với nhau của đường tròn (O), C là điểm trên cung nhỏ AB (Hình 7). Ta coi số đo của một cung nhỏ là số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

a) Xác định số đo của cung AB.

b) So sánh số đo của hai cung AC và AB.

Giải rút gọn:

a) Số đo cung AB: 90^o

b) AC < AB

Thực hành 2 (trang 92): Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau (Hình 9). Xác định số đo của các cung AB, AC và AD.

Giải rút gọn:

Số đo cung AB là 180^o

Số đo cung AC là 90^o

Số đo cung AD là 90^o

Vận dụng 2 (trang 92): Xác định số đo cung AB trong hình ngôi sao năm cánh (Hình 10)

Giải rút gọn:

Số đo cung AB < 90^o

Hoạt động 4 (trang 92): Trên đường tròn (O), vẽ hai cung nhỏ AB, BC sao cho AOB = 18°, BOC = 32° và tia OB ở giữa hai tia OA, OC (Hình 11). Tính số đo của các cung AB, BC, AC.

Giải rút gọn:

Số đo cung AB là 18^o và 342^o

Số đo cung BC là 32^o và 328^o

Số đo cung AC là 50^o và 310^o

Thực hành 3 (trang 93): Trên cung AB có số đo 90^o của đường tròn (O), lấy điểm M sao cho cung AM có số đo 15^o. Tính số đo cung MB

Giải rút gọn:

Trường hợp 1:Cung MB có số đo là: 90^o – 15^o = 75^o

Trường hợp 2: Cung MB có số đo là: 360^o – 90^o – 15^o = 255^o

Vận dụng 3 (trang 92): Bạn Hùng làm một cái diều với thân diều là hình tứ giác SAOB sao cho OS là đường phân giác của AOB và ASB=106°. Thanh tre màu xanh lá được uốn cong thành cung AB của đường tròn tâm O và SA, SB là hai tiếp tuyến của (O) (Hình 12). Tính số đo của AB.

Giải rút gọn:

Số đo cung AB là 108^o và 252^o

3. GÓC NỘI TIẾP

Hoạt động 5 (trang 92): Quan sát hình 13: Hãy cho biết trong các góc APB, АОВ, AMB, AQB, góc nào có đỉnh nằm trên đường tròn (O).

Giải rút gọn:

Góc AMB có đỉnh nằm trên đường tròn (O)

Thực hành 4 (trang 92): Cho tam giác đều MNP có ba đỉnh nằm trên đường tròn (I). Hãy chỉ ra các góc nội tiếp của đường tròn (I) và tính số đo của các góc nội tiếp đó. 

Giải rút gọn:

Các góc nội tiếp của đường tròn (I): MNP, MPN, NMP

Tam giác MNP là tam giác đều 

=> MNP = MPN = NMP = 60^o

Vận dụng 4 (trang 92): Cho hai điểm E và F nằm trên đường tròn (O). Có bao nhiêu góc nội tiếp chắn cung EF

Giải rút gọn:

2 góc nội tiếp chắn cung EF

Hoạt động 6 (trang 93): Quan sát Hình 15. Ta có góc nội tiếp AMB chắn cung AB trên đường tròn (O). Cho biêt AOB = 60°.

a) Tính số đo AB.

b) Dùng thước đo góc để tìm số đo AMB.

c) Có nhận xét gì về hai số đo của AMB và AB?

Giải rút gọn:

a) Số đo AB = AOB = 60^o

b) Sử dụng thước đo góc 

Đặt thước đo sao cho tâm của thước đo trùng với điểm M và cạnh MB trùng với vạch 0^o

Số đo của góc AMB chính là số đo đo được trên thước đo góc, AMB = 30^o

c) Số đo của cung AB gấp đôi số đo của góc AMB.

Thực hành 5 (trang 96): Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn (O) sao cho AOB = 50°, BOC = 30°, điểm B thuộc cung nhỏ AC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cung nhỏ AB, AC và chia mỗi cung đó thành hai cung bằng nhau. Tìm số đo các góc sau:

a) BCA, BAC;

b) MBA, BAN.

Giải rút gọn:

a) 

BCA =

b) 

MBA =

BAN =

Vận dụng 5 (trang 96): Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn MN (Hình 20). Nếu bóng được đặt ở điểm X thì MXN gọi là góc sút từ vị trí X. Hãy so sánh các góc sút MXN, MYN, MZN.

Giải rút gọn:

MXN = MYN = MZN vì cùng chắn một cung MN

 4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Bài 1 (trang 97): Cho đường tròn (O; 5 cm) và điểm M sao cho OM = 10 cm. Qua M vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Tính số đo góc ở tâm được tạo bởi hai tia OA và OB.

Giải rút gọn:

Xét tam giác OAM vuông tại A:

cos MOA = 5 / 10 = 1 / 2 

=> MOA = 60^o

Do MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)

=> MO là tia phân giác góc AOB

=> AOB = 2MOA = 120^o

Bài 2 (trang 97): Cho tam giác đều ABC. Vẽ đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Hãy so sánh các cung BD, DE, EC

Giải rút gọn:

Tam giác ABC là tam giác đều

=> ABC = ACB = 60^o

Xét tam giác BOD:

OB = OD (= R)

DBO = 60^o

=> Tam giác BOD là tam giác đều

=> BOD = 60^o

=> số đo dây cung BD là 60^o

Xét tam giác EOC:

OE = OC (= R)

ECO = 60^o

=> Tam giác EOC là tam giác đều

=> EOC = 60^o

=> số đo dây cung EC là 60^o

DOE = 180^o - DOB - EOC = 180^o - 60^o - 60^o = 60^o

Bài 3 (trang 97): Dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung. Cung lớn có số đo bằng ba lần cung nhỏ.

a) Tính số đo mỗi cung.

b) Chứng minh khoảng cách OH từ tâm O đến dây cung AB có độ dài bằng AB/2

Giải rút gọn:

a) Gọi số đo của cung nhỏ là x đơn vị đo

=> Số đo của cung lớn là 3x đơn vị đo

Vì cung lớn có số đo gấp ba lần cung nhỏ, nên ta có:

3x + x = 360^o

=> x = 90^o

Vậy, số đo của cung nhỏ là 90^o và số đo của cung lớn là 270^o

b) BOA là góc ở tâm chắn cung AB 

=> BOA = 90^o

=> Tam giác OBA vuông tại O

Xét tam giác OBA:

OB = OA

=> Tam giác OBA cân tại O

Mà OH vuông góc với AB

=> OH cũng là đường trung tuyến của AB

Theo tính chất của tam giác vuông: HA = HB = HO = AB/ 2 (đpcm)

Bài 4 (trang 97): Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu vào những thời điểm sau?

a) 2 giờ

b) 8 giờ

c) 21 giờ

Giải rút gọn:

a) 60°,

b) 240°,

c) 270°.

Bài 5 (trang 97): Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; ). Một tiếp tuyến của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại hai điểm A và B. Tính số đo cung AB

Giải rút gọn:

Gọi điểm I là tiếp điểm của đường tròn (O;R) với AB

Xét tam giác AIO vuông tại I:

cos AOI =  : R=

=> AOI = 30^o

Mà AOB = 2.AOI = 2.30^o = 60^o

=> Số đo cung AB là 60^o

Bài 6 (trang 97): Xác định số đo các cung AB, BC, CA trong mỗi hình sau.

Giải rút gọn:

a) Số đo cung AB là 53^o

Số đo cung BC là 67^o

Số đo cung CA là 60^o

b) Số đo cung AB là  52,5^o

Số đo cung BC là 60^o

Số đo cung CA là 67,5^o

Bài 7 (trang 97): Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy một điểm M trên cung nhỏ AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng CD tại S. Chứng minh rằng MSD = 2MBA.

Giải rút gọn:

Tam giác MSO vuông tại M

=> MSO = 90^o - MOS

hay MSD = 90^o - MOC

Xét (O):

MBA = . MOA = . (90^o - MOC) (do AB vuông góc với CD) 

=> MSD = 2. MBA (đpcm)