BÀI 2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Hoạt động 1 (trang 83) Nêu nhận xét về số điểm chung của đường thẳng a và đường tròn O trong mỗi hình sau:

Giải rút gọn:

Số điểm chung của đường thẳng a và đường tròn O là:

a) 0

b) 1, là điểm C

c) 2, là 2 điểm A, B

Thực hành 1 (trang 85): Cho đường tròn (J; 5 cm) và đường thẳng c. Gọi K là chân đường vuông góc vẽ từ J xuống c, d là độ dài của đoạn thẳng JK. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng c và đường tròn (J; 5 cm) trong mỗi trường hợp sau:

a) d = 4 cm;

b) d = 5 cm;

c) d = 6 cm.

Giải rút gọn:

a) c cắt (J), c là cát tuyến của đường tròn (J)

b) c là tiếp tuyến của (J)

d) c và (J) không giao nhau

Vận dụng 1 (trang 85): Một diễn viên xiếc đi xe đạp một bánh trên sợi dây cáp căng được cố định ở hai đầu dây. Biết đường kính bánh xe là 72 cm, tính khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp.

Giải rút gọn:

Bán kính bánh xe: 72 / 2 = 36 cm

=> Khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp là 36 cm

2. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG TRÒN

Hoạt động 2 (trang 85): Cho điểm A nằm trên đường tròn (O; R), đường thẳng d đi qua A và vuông góc với OA. Gọi M là một điểm trên d (M khác A).

a) Giải thích tại sao ta có OA = R và OM > R.

b) Giải thích tại sao d và (O) không thể có điểm chung nào khác ngoài A.

Giải rút gọn:

a) Vì A là một điểm nằm trên đường tròn O => OA = R

Xét tam giác OAM vuông tại A => OM là cạnh huyền và OM > OA 

=> OM > R

b) Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với OA  nên đường thẳng d không thể cắt đường tròn (O; R) tại một điểm khác ngoài A.

Thực hành 2 (trang 86): Cho tam giác ABC có đường cao AH. Tìm tiếp tuyến của đường tròn (A; AH). (Hình 8) tại H

Giải rút gọn:

CB là tiếp tuyến của đường tròn (A;AH)

Vận dụng 2 (trang 86): Một diễn viên xiếc đi xe đạp trên một sợi dây cáp căng (Hình 9). Ta coi sợ dây là tiếp tuyến của mỗi bánh xe, xác định các tiếp điểm

Giải rút gọn:

Các tiếp điểm chính là các điểm của bánh xe đang tiếp xúc trực tiếp với sợi dây

3. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

Hoạt động 3 (trang 87): Cho đường tròn (O) và hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại điểm A (Hình 10).

a) Chứng minh hai tam giác ABO và ACO bằng nhau.

b) Tìm các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau trong Hình 10.

Giải rút gọn:

a) OB = OC = R 

Xét 2 tam giác vuông OAB và OCA:

OB = OC

OA trùng nhau

=> Tam giác OAB = tam giác OCA

b) AB = AC (từ ý a)

OB = OC

BOA = COA 

CAO = BAO

ABO = ACO

Thực hành 3 (trang 87): Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (I; 6 cm) và ME, MF là hai tiếp tuyến của đường tròn này tại E và F. Cho biết EMF = 60^o

a) Tính số đo EMI và EIF

b) Tính độ dài MI

Giải rút gọn:

a) MI là tia phân giác của EMF => EMI = EMF/2 = 60^o/2 = 30^o

Tam giác EIM vuông tại M => EIM = 90^o - 30^o= 60^o

b) IE = IM. sin EMI 

=> IM = 6/ sin 30^o  = 12

Thực hành 4 (trang 88): Tìm giá trị của x trong Hình 12

Giải rút gọn:

4x – 9 = 15

=> 4x = 24

⬄ x = 6

Vận dụng 3 (trang 88): Bánh đà của một động cơ được thiết kế có dạng là một đường tròn tâm O, bán kính 15 cm được kéo bởi một dây curoa. Trục của mô tơ truyền lực được biểu diễn bởi điểm M (Hình 13). Cho biết khoảng cách OM là 35 cm.

a) Tính độ dài của hai đoạn dây curoa MA và MB (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

b) Tính số đo AMB tạo bởi hai tiếp tuyến AM, BM và số đo AOB (kết quả làm tròn đến phút).

Giải rút gọn:

a) Xét tam giác OAM vuông tại O ta có: 

MB = MA => MB =

b) Xét tam giác OAM vuông tại A có:

tan OMA = OA / AM

=> tan OMA = 15 /

=> OAM = 25^o22’

Mà AMB = 2OAM

=> AMB = 50^o44’

=> AOB = 360^o - 90^o - 90^o - 50^o44’=129^o16’

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Bài 1 (trang 88): Trong Hình 14, MB, MC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C; COB = 130^o. Tính số đo CMB.

Giải rút gọn:

CMB = 360^o - 90^o - 90^o - 130^o = 50^o

Bài 2 (trang 88): Quan sát Hình 15. Biết AB, AC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C. Tính giá trị của x

Giải rút gọn:

7x – 4 = 3x + 8

=> 4x = 12

=> x = 3

Bài 3 (trang 89): Trong Hình 16, AB = 9, BC = 12, AC = 15 và BC là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Giải rút gọn:

Xét tam giác ABC:

AC² = 225

CB² + AB² = 225

=> Tam giác ABC vuông tại B

=> AB là tiếp tuyến của đường tròn  (O; OB)

Bài 4 (trang 89): Cho tam giác ABC có đường tròn (O) nằm trong và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Biết AM = 6 cm, BP = 3 cm, CE = 8 cm (HÌnh 17). Tính chu vi tam giác ABC

Giải rút gọn:

MB = BP

=> MB = 3 cm

=> AB = 6 + 3 = 9 cm

AE = AM 

=> AE = 6 cm

=> AC = 8 + 6 = 14 cm

PC = EC

=> PC = 8 cm

=> BC = 8 + 3 = 11 cm

Chu vi tam giác ABC là: 9 + 14 + 11 = 34 cm

Bài 5 (trang 89): Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC = R. Gọi I là trung điểm của dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:

a) ACB có số đo bằng 90°, từ đó suy ra độ dài của BC theo R;

b) OM là tia phân giác của COA;

c) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Giải rút gọn:

a) Chứng minh ACB có số đo bằng 90°:

Xét tam giác OAC: OA = OC = AC = R

=> Tam giác OAC đều 

=> AOC = OAC = OCA = 60°

=> BOC = 180° - 60° = 120°

Xét tam giác OBC: OB = OC = R

=> Tam giác OBC cân tại O

=> OCB = (180° - 120°)/ 2 = 30°

=> ACB = OCB + OCA = 30° + 60° = 90°

Xét tam giác ABC vuông tại C:

b) Tam giác đều OAC có I là trung điểm của AC

=> OI là tia phân giác của góc COA 

=> OM cũng là tia phân giác của COA.

c) Xét hai tam giác OAC và OCM:

OM chung

OA = OC

AOM = COM (OM là tia phân giác góc COA)

=> ΔOAC = ΔOCM

=> OCM = OAM = 90°

=> OC vuông góc với CM

=> MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Bài 6 (trang 89): Cho đường tròn (O; 5 cm), điểm M nằm ngoài (O) sao cho hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại M.

a) Tính độ dài của MA và MB.

b) Qua giao điểm I của đoạn thẳng MO và đường tròn (O), vẽ một tiếp tuyến cắt OA, OB lần lượt tại C, D. Tính độ dài của CD.

Giải rút gọn:

a) Xét tứ giác OAMB có:

OA = OB = R

OAM = OBM = AMB = 90°

=> OAMB là hình vuông

=> MA = MB = OA = OB = R = 5cm

b) MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O;5)

=> OM là tia phân giác của AOB

=> AOM = 90° /2 = 45°

CD là tiếp tuyến của đường tròn (O;5) tại I

=> Tam giác OIC vuông tại I

=> IC = OI.tanCOI = 5.tan45°= 5 cm

Tương tự: ID = 5cm

=> CD = IC + ID = 10 cm

Bài 7 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài (O) sao cho MA và MB là hai tiếp tuyến (A, B là hai tiếp điểm) thoả mãn AMB = 60°. Biết chu vi tam giác MAB là 18 cm, tính độ dài dây AB.

Giải rút gọn:

MA và MB là 2 tiếp tuyến của (O) 

=> MA = MB

Xét tam giác MAB:

MA = MB

AMB = 60°

=> tam giác MAB là tam giác đều

=> MA = MB = AB

Mặt khác: Chu vi tam giác MAB = MA + MB + AB = 3AB = 18

=> AB = 6 cm

Bài 8 (trang 89): Trong Hình 18, AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.

a) Tính bán kính r của đường tròn (O).

b) Tính chiều dài cạnh OA của tam giác ABO.

Giải rút gọn:

a) Xét tam giác ABO vuông tại B ta có:

OB² + AB² = OA²

=> r² + 4² = (r + 2)²

=> 4r = 12

=> r = 3

b) OA = r +  2 = 3 + 2 = 5