BÀI 2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Giải nhanh hoạt động 1 trang 83 sgk toán 9 tập 1 ctst

Nêu nhận xét về số điểm chung của đường thẳng a và đường tròn O trong mỗi hình sau

Giải nhanh:

a) Không tiếp xúc 

b) Cắt đường tròn (O) tại 1 điểm

c) Cắt đường tròn (O) tại 2 điểm

Giải nhanh thực hành 1 trang 85 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (J; 5 cm) và đường thẳng c. Gọi K là chân đường vuông góc vẽ từ J xuống c, d là độ dài của đoạn thẳng JK. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng c và đường tròn (J; 5 cm) trong mỗi trường hợp sau:

a) d = 4 cm;

b) d = 5 cm;

c) d = 6 cm.

Giải nhanh:

a) c cắt (J), c là cát tuyến của đường tròn (J)

b) c là tiếp tuyến của (J)

d) c và (J) không giao nhau

Giải nhanh vận dụng 1 trang 85 sgk toán 9 tập 1 ctst

Một diễn viên xiếc đi xe đạp một bánh trên sợi dây cáp căng được cố định ở hai đầu dây. Biết đường kính bánh xe là 72 cm, tính khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp.

Giải nhanh:

Khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp là 36 cm

2. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG TRÒN

Giải nhanh hoạt động 2 trang 85 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho điểm A nằm trên đường tròn (O; R), đường thẳng d đi qua A và vuông góc với OA. Gọi M là một điểm trên d (M khác A).

a) Giải thích tại sao ta có OA = R và OM > R.

b) Giải thích tại sao d và (O) không thể có điểm chung nào khác ngoài A.

Giải nhanh:

a) Vì A là một điểm nằm trên đường tròn O => OA = R

Xét tam giác OAM vuông tại A => OM > OA 

=> OM > R

b) Đường thẳng d không thể cắt đường tròn (O; R) tại một điểm khác ngoài A.

Giải nhanh thực hành 2 trang 86 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Tìm tiếp tuyến của đường tròn (A; AH). (Hình 8) tại H

Giải nhanh:

=> Từ hình ta có CB là tiếp tuyến của đường tròn (A;AH)

Giải nhanh vận dụng 2 trang 86 sgk toán 9 tập 1 ctst

Một diễn viên xiếc đi xe đạp trên một sợi dây cáp căng (Hình 9). Ta coi sợ dây là tiếp tuyển của mỗi bánh xe, xác định các tiếp điểm

Giải nhanh:

Các tiếp điểm chính là các điểm của bánh xe đang tiếp xúc trực tiếp với sợi dây

3. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

Giải nhanh hoạt động 3 trang 87 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O) và hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại điểm A (Hình 10).

a) Chứng minh hai tam giác ABO và ACO bằng nhau.

b) Tìm các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau trong Hình 10.

Giải nhanh:

a) 

Xét 2 tam giác vuông OAB và OCA ta có

OB = OC

OA trùng nhau

=> Tam giác OAB = tam giác OCA

b) AB = AC (từ ý a)

OB = OC

Góc BOA = Góc COA 

Góc CAO = Góc BAO

Góc ABO = Góc ACO

Giải nhanh thực hành 3 trang 87 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (I; 6 cm) và ME, MF là hai tiếp tuyến của đường tròn này tại E và F. Cho biết EMF = 60^o

a) Tính số đo EMI và EIF

b) Tính độ dài MI

Giải nhanh:

a) Ta có EMI và EIF = EMF/2 = 30^o

b) Ta có ME = 6. cot 30^o = 6 cm

Mà MI =

Giải nhanh thực hành 4 trang 88 sgk toán 9 tập 1 ctst

Tìm giá trị của x trong Hình 12

Giải nhanh:

x = 6

Giải nhanh vận dụng 3 trang 88 sgk toán 9 tập 1 ctst

Bánh đà của một động cơ được thiết kế có dạng là một đường tròn tâm O, bán kính 15 cm được kéo bởi một dây curoa. Trục của mô tơ truyền lực được biểu diễn bởi điểm M (Hình 13). Cho biết khoảng cách OM là 35 cm.

a) Tính độ dài của hai đoạn dây curoa MA và MB (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

b) Tính số đo AMB tạo bởi hai tiếp tuyến AM, BM và số đo AOB (kết quả làm tròn đến phút).

Giải nhanh:

a) MB =

b) Xét tam giác OAM vuông tại A có:

tan OMA = OA / AM= 15 /

=> OAM = 25^o22’

Mà AMB = 2OAM= 50^o44’

Ta có MOA = 180^o – OAM – OMA ’= 64^o38’

Mà AOB = 2MOA= 129^o16’

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải nhanh bài 1 trang 88 sgk toán 9 tập 1 ctst

Trong Hình 14, MB, MC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C; COB = 130^o. Tính số đo CMB.

Giải nhanh:

Ta có COM = COB / 2 = 65^o

CMB = 2OMC = 2.(180^o – 90^o – 65^o = 25^o )=50^o

Giải nhanh bài 2 trang 88 sgk toán 9 tập 1 ctst

Quan sát Hình 15. Biết AB, AC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C. Tính giá trị của x

Giải nhanh:

7x – 4 = 3x + 8

=> x = 3

Giải nhanh bài 3 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Trong Hình 16, AB = 9, BC = 12, AC = 15 và BC là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Giải nhanh:

Ta có: AC² = 225

CB² + AB² = 225

=> Tam giác ABC vuông tại B

=> AB là tiếp tuyến của đường tròn  (O; OB)

Giải nhanh bài 4 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho tam giác ABC có đường tròn (O) nằm trong và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Biết AM = 6 cm, BP = 3 cm, CE = 8 cm (HÌnh 17). Tính chu vi tam giác ABC

Giải nhanh:

AB = 9 cm

AC =  14 cm

BC =11 cm

C.ABC = 34 cm

Giải nhanh bài 5 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC = R. Gọi I là trung điểm của dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:

a) ACB có số đo bằng 90°, từ đó suy ra độ dài của BC theo R;

b) OM là tia phân giác của COA;

c) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Giải nhanh:

a) Ta có:

- AI = IC (vì I là trung điểm của AC)

- OA = OC = R (vì là bán kính của đường tròn)

Do đó, tam giác AIO và CIO là tam giác cân tại I.

Vậy, góc AIC = góc CIB, và góc AIO = góc CIO.

Từ đó, ta thấy rằng tổng của góc AIC và góc CIO bằng 180°.

Nhưng góc AIO = góc CIO = 90° (vì tiếp tuyến Ax cắt đường tròn tại góc vuông).

Vậy, góc ACB có số đo bằng 90°.

Độ dài của BC theo R:

Khi AC = R, theo định lý Pythagoras, ta có

=>

b)  Vì I là trung điểm của AC, nên OI là tia phân giác của góc COA

Vì vậy, OM cũng là tia phân giác của COA.

c) Vì OM là tia phân giác của góc COA và OI là tia phân giác của góc COA, nên theo tính chất của tia phân giác, ta có   

Vì OI là đường trung tuyến của tam giác AOC (vì I là trung điểm của AC), nên theo định lý Euclid, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Giải nhanh bài 6 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O; 5 cm), điểm M nằm ngoài (O) sao cho hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại M.

a) Tính độ dài của MA và MB.

b) Qua giao điểm I của đoạn thẳng MO và đường tròn (O), vẽ một tiếp tuyến cắt OA, OB lần lượt tại C, D. Tính độ dài của CD.

Giải nhanh:

a) MA = MB = R = 5

b) 

Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng MO và đường tròn (O).

Vì O là tâm của đường tròn, nên đoạn MO là đoạn trung tuyến của tam giác OAD, do đó IO là đường phân giác của góc AOD.

Vì vậy,  .

Vì góc ở trung điểm góc nhỏ gấp đôi góc ở đỉnh của tam giác, ta có:

Do đó, CD là đường tiếp tuyến tại O và góc AOC là góc tròn, vì vậy CD cũng là đường kính của đường tròn: cm.

Giải nhanh bài 7 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài (O) sao cho MA và MB là hai tiếp tuyến (A, B là hai tiếp điểm) thoả mãn AMB = 60°. Biết chu vi tam giác MAB là 18 cm, tính độ dài dây AB.

Giải nhanh:

Gọi R là bán kính của đường tròn (O). Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn, nên MA = MB = R.

Với tam giác MAB, theo điều kiện cạnh - góc - cạnh, ta có thể sử dụng công thức sin để tính độ dài cạnh còn lại:

Nhưng ta cần tính R trước. Để làm điều này, ta có thể sử dụng định lý cosin trong tam giác vuông MAB:

Vì MA = MB = R và , ta có:

AB = R 

Ta biết rằng chu vi của tam giác MAB là 18 cm. Vậy:

MA + MB + AB = 18

2R + R = 18 

 R = 6 

Giải nhanh bài 8 trang 89 sgk toán 9 tập 1 ctst

Trong Hình 18, AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.

a) Tính bán kính r của đường tròn (O).

b) Tính chiều dài cạnh OA của tam giác ABO.

Giải nhanh:

a) Xét tam giác ABO vuông tại B ta có:

OB² + AB² = OA²

=> OB² = OA² – AB²

=> r² = (r + 2)² – 4²

=> r = 3

b) OA = r +  2 = 5