PHẦN SỐ VÀ ĐẠI SỐ

Mở một chiếc compa sao cho hai đầu compa cách nhau một khoảng R cho trước. Tì đầu nhọn của compa lên một điểm O cố định trên tờ giấy, xoay compa để đầu bút M của compa vạch trên giấy một đường cong. Nêu nhận xét về các khoảng cách từ một điểm M tuỳ ý trên đường cong vừa vẽ đến điểm O.

Giải nhanh:

Khoảng cách từ một điểm M tuỳ ý trên đường cong vừa vẽ đến điểm O là không đổi và bằng R.

2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Giải nhanh hoạt động 2 trang 76 sgk toán 9 tập 1 ctst

a) Cho đường tròn (O; R).

i) Lấy điểm A nằm trên đường tròn. Vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn tại điểm A' khác A. Giải thích tại sao O là trung điểm của đoạn thẳng AA'.

ii) Lấy điểm B khác A thuộc đường tròn (O; R). Tìm điểm B' sao cho O là trung

điểm của đoạn thẳng BB'. Điểm B' có thuộc đường tròn (O; R) không? Giải thích.

b) Cho đường tròn (O; R), d là đường thẳng đi qua tâm O. Lấy điểm M nằm trên đường tròn. Vẽ điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thăng MM' (khi M thuộc d thì lấy M' trùng với M). Điểm M' có thuộc đường tròn (O; R) không? Giải thích.

Giải nhanh:

a) i. OA = OA' = R, tức là O là trung điểm của đoạn thẳng AA'.

ii. B' thuộc đường tròn (O; R).

b) M' sẽ thuộc đường tròn (O; R).

Giải nhanh thực hành 1 trang 77 sgk toán 9 tập 1 ctst

Xác định tâm đối xứng và trục đối xứng của bánh xe trong Hình 7. Giải thích cách làm.

Giải nhanh:

Kẻ một đường thẳng bất kì đi qua tâm thì đó là trục đối xứng

Giải nhanh vận dụng 1 trang 77 sgk toán 9 tập 1 ctst

Nêu cách chia một cái bánh có dạng hình tròn tâm O (Hình 8) thành hai phần bằng nhau.

Giải nhanh:

Ta kẻ một đường thẳng đi qua tâm O của chiếc bánh ta sẽ được 2 phần bằng nhau

3. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Giải nhanh hoạt động 3 trang 77 sgk toán 9 tập 1 ctst

Trên đường tròn (O; R), lấy bốn điểm A, B, M, N sao cho AB đi qua O và MN không đi qua O (Hình 9).

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

b) So sánh độ dài của MN và OM + ON. Từ đó, so sánh độ dài của MN và AB.

Giải nhanh:

a) AB = 2R

b) MN < AB

Giải nhanh thực hành 2 trang 78 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (I) có các dây cung AB, CD, EF. Cho biết AB và CD đi qua tâm I, EF không đi qua I (hình 11). Hãy so sánh độ dài AB, CD, EF

Giải nhanh:

AB = CD = 2R > EF

Giải nhanh vận dụng 2 trang 78 sgk toán 9 tập 1 ctst

Bạn Mai căng ba đoạn chỉ AB, CD, EF có độ dài lần lượt là 16 cm, 14 cm và 20 cm trên một khung thêu hình tròn bán kính 10 cm (Hình 12). Trong ba dây trên, dây nào đi qua tâm của đường tròn? Giái thích?

Giải nhanh:

Dây EF đi qua tâm của đường tròn vì EF = 2R

4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Giải nhanh hoạt động 4 trang 78 sgk toán 9 tập 1 ctst

Tìm số điểm chung của hai đường tròn (O) và (O’) trong mỗi trường hợp sau(Hình 13)

Giải nhanh:

a) Không có điểm chung

b) Không có điểm chung

c) 1 điểm chung là M

d) 2 điểm chung là M và N

Giải nhanh hoạt động 5 trang 79 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho 2 đường tròn phân biệt (O; R) và (O’; R) với R R’

So sánh OO’ với R+ R’ và R – R’ trong mỗi trường hợp sau đây: (Hình 15 ;Hình 16 và Hình 17)

Giải nhanh:

Trường hợp 1:

a) OO’ > R + R’ và OO’ > R – R’

b) OO’ < R + R’ và OO’ < R – R’

Trường hợp 2:

a) OO’ = R + R’ và OO’ > R – R’

b) OO’ < R + R’ và OO’ = R – R’

Trường hợp 3:

OO’ < R + R’ và OO’ > R – R’

Giải nhanh thực hành 3 trang 79 sgk toán 9 tập 1 ctst

Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn (I; R) và (J;R’) trong mỗi trường hợp sau :

a) IJ = 5; R = 3; R’ = 2

b) IJ = 4; R = 11; R’ = 7

c) IJ = 6; R = 9; R’ = 4

d) IJ = 10; R = 4; R’ = 1

Giải nhanh:

a) Hai đường tròn này tiếp xúc ngoài.

b) Hai đường tròn này cắt nhau.

c) Hai đường tròn này cắt nhau.

d) Hai đường tròn này không cắt nhau.

Giải nhanh vận dụng 3 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Mô tả vị trí tương đối giữa mỗi cặp đường tròn trong hình chụp bộ cồng chiêng Tây Nguyên trong Hình 18.

Giải nhanh:

a) Hai đường tròn không cắt nhau

b) Hai đường tròn cắt nhau tại 1 điểm

c) Hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm

5. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải nhanh bài 1 trang 81 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho đường tròn (O), bán kính 5 cm và bốn điểm A, B, C, D thoả mãn OA = 3 cm, OB = 4 cm, OC = 7 cm, OD = 5 cm. Hãy cho biết mỗi điểm A, B, C, D nằm trong,

nằm trên hay nằm ngoài đường tròn (O).

Giải nhanh:

Điểm A: nằm trong đường tròn (O).

Điểm B: nằm trong đường tròn (O).

Điểm C: nằm ngoài đường tròn (O).

Điểm D: nằm trên đường tròn (O).

Giải nhanh bài 2 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 18 cm và CD = 12 cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Giải nhanh:

Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng CD. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AE là phân giác của góc A và là đường cao của tam giác ACD.

Do đó, tam giác ACD là tam giác vuông tại A. Vì vậy, điểm E cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, và bán kính của đường tròn đó chính là đoạn thẳng từ tâm (trung điểm của CD) đến một trong các đỉnh của hình chữ nhật, chẳng hạn bán kính này có thể tính bằng độ dài của đoạn thẳng AE hoặc BE.

Vì AE là phân giác của góc A và là đường cao của tam giác ACD, nên ta có:

Vậy, bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là 12 cm.

Giải nhanh bài 3 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho tam giác ABC có hai đường cao BB' và CC. Gọi O là trung điểm của BC.

a) Chứng minh đường tròn tâm O bán kính OB' đi qua B, C, C';

b) So sánh độ dài hai đoạn thẳng BC và B'C'.

Giải nhanh:

Vì O là trung điểm của BC, nên OB = OC. Ta cũng biết rằng BB' và CC' là hai đường cao của tam giác ABC, nên chúng đều vuông góc với BC và đi qua trung điểm O.

Do đó, ta có:

OB = OC (vì O là trung điểm của BC)

OB' = OC' (vì BB' và CC' là hai đường cao của tam giác ABC)

Vậy ta thấy rằng các điểm B, C, và C' đều nằm trên đường tròn có tâm O và bán kính OB' = OC'. Do đó, đường tròn tâm O bán kính OB' đi qua B, C, và C'.

b) B’C’ = 2.BO’ = 2OB’

Giải nhanh bài 4 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho tứ giác ABCD có B = D = 90°.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

b) So sánh độ dài của AC và BD.

Giải nhanh:

a) Vì B=D=90^o , nên tứ giác ABCD là một hình vuông. Ta biết rằng trong một hình vuông, đường chéo chính là đường tròn ngoại tiếp.

Vì vậy, các điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn có đường chéo là AC hoặc BD.

b) AC=BD.

Giải nhanh bài 5 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho hai đường tròn (O; 2 cm) và (A; 2 cm) cắt nhau tại C, D, điểm A nằm trên đường tròn tâm O (Hình 20).

a) Vẽ đường tròn (C; 2 cm).

b) Đường tròn (C; 2 cm) có đi qua hai điểm O và A không? Vì sao?

Giải nhanh:

BÀI 1. ĐƯỜNG TRÒN

b) Đường tròn (C;2) có đi qua 2 điểm O và A. Vì OC = 2cm và CA = 2cm

Giải nhanh bài 6 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Cho hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm) cắt nhau tại C và D, AB = 8 cm. Gọi K, I lần lượt là giao điểm của hai đường tròn đã cho với đoạn thẳng AB (Hình 21).

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng CA, CA, CB, CB, DA I và DB.

b) Điểm I có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

c) Tính độ dài của đoạn thẳng IK.

Giải nhanh:

a) CA = DA = 6 cm

CB = DB = 4 cm

b) I là trung điểm của đoạn thẳng AB

c) IK = 2 cm

Giải nhanh bài 7 trang 80 sgk toán 9 tập 1 ctst

Xác định vị trí tương đối của (O; R) và (O'; R') trong mỗi trường hợp sau:

a) OO' = 18; R = 10; R' = 6;

b) OO' = 2; R = 9; R' = 3;