BÀI 2. TỨ GIÁC NỘI TIẾP

KHỞI ĐỘNG

Quan sát hai hình tứ giác ABCD và A’B’C’D’, hãy nêu nhận xét sự khác biệt về vị trí các đỉnh của mỗi hình đối với đường tròn trong hình đó.

Giải nhanh:

- Hình a cả bốn điểm đều nằm trên đường tròn

- Hình b có điểm D’ nằm ngoài đường tròn

1. ĐỊNH NGHĨA TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Giải nhanh hoạt động 1 trang 70 sgk toán 9 tập 2 ctst

Các tứ giác trong Hình 1 có đặc điểm gì giống nhau?

Giải nhanh:

Có các đỉnh nằm trên đường tròn.

Giải nhanh thực hành 1 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst

Vẽ một tứ giác nội tiếp hình tròn và một tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Giải nhanh:

Giải nhanh vận dụng 1 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst

Có nhận xét gì về tứ giác trong hình hoa văn trang trí mặt lưng của chiếc ghế với đường tròn trong Hình 3.

Giải nhanh:

Tứ giác có các đỉnh đều nằm trên đường tròn.

2. TÍNH CHẤT

Giải nhanh hoạt động 2 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (Hình 4).

a) Chỉ ra các cung chắn bởi mỗi góc nội tiếp và .

b) Tính tổng số đo của các cung vừa tìm được.

c) Nêu kết luận về tổng số đo của hai góc và .

d) Có nhận xét gì về tổng số đo của hai góc đối diện còn lại của tứ giác ABCD?

Giải nhanh:

a) Góc là góc nội tiếp chắn cung BD nhỏ; Góc là góc nội tiếp chắn cung BD lớn.

b) số đo cung BD nhỏ.

số đo cung BD lớn.

(số đo cung BD nhỏ + số đo cung BD lớn) = .360^o = 180^o.

c) 180^o

d) 180^o 

Giải nhanh thực hành 2 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tìm số đo các góc chưa biết của tứ giác ABCD trong Hình 6.

Giải nhanh:

 ;

Giải nhanh vận dụng 2 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst

Trong hình vẽ minh họa của học sinh có một tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O (Hình 7). Cho biết = 70^o, = 50^o. Tìm góc .

Giải nhanh:

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Do đó .

Mà .

Vì OA = OD = R nên OAD cân tại O

(tính chất tam giác cân)

OAD đều .

3. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH VUÔNG

Giải nhanh hoạt động 3 trang 72 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho hình chữ nhật ABCD và hình vuông MNPQ (Hình 8).

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. So sánh độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Nêu nhận xét về tâm và đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có cạnh bằng a.

Giải nhanh:

a) - Độ dài OA, OB, OC, OD là bằng nhau.

- Nhận xét: 

+ Tâm là giao điểm của hai đường chéo.

+ Đường kính là đường chéo của hình chữ nhật.

b) - Tâm  là I.

- R = IM = IN = IP = IQ = .

Giải nhanh thực hành 3 trang 73 sgk toán 9 tập 2 ctst

Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông và hình chữ nhật trong Hình 11.

Giải nhanh:

a) Tâm M và R = .

b) Tâm O và R =

Giải nhanh vận dụng 3 trang 73 sgk toán 9 tập 2 ctst

Một người muốn thiết kế một bảng hiệu gồm một hình vuông nội tiếp một đường tròn bán kính R = 3 cm (Hình 12). Tính diện tích hình vuông đó.

Giải nhanh:

Ta thấy đường tròn ngoại tiếp hình vuông Độ dài đường chéo hình vuông là đường kính của hình tròn.

Độ dài của đường chéo hình vuông là: d = 2.R = 6 cm.

Độ dài cạnh hình vuông là: a = cm.

Diện tích hình vuông là: = 18 (cm²).

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải nhanh bài 1 trang 73 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy hoàn thành bảng sau vào vở.

Giải nhanh:

Giải nhanh bài 2 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C và H là trực tâm của tam giác đó. Hãy chỉ ra các tứ giác nội tiếp trong hình

Giải nhanh:

Các tứ giác nội tiếp là AC’HB’, BC’HA, ACB’H, BCB’C’.

Giải nhanh bài 3 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst

Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD trong mỗi trường hợp sau:

a) AB = 6 cm, BC = 8 cm;                  b) AC = 9cm.

Giải nhanh:

a) cm.

b) cm.

Giải nhanh bài 4 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst

Chi hình vuông MNPQ nội tiếp đường tròn bán kính R. Tính độ dài cạnh và đường chéo của hình vuông theo R.

Giải nhanh:

- MP = 2R.

- .

Giải nhanh bài 5 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst

Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là trung điểm của dây BC. Chứng minh AMIO là một tứ giác nội tiếp.

Giải nhanh:

Vì OB = OC = R OBC cân tại O mà OI là trung tuyến 

OI đồng thời là đường cao OBC OI BC tai I.

Ta có (cmt); (giả thiết)

mà hai góc này ở đối diện nhau.

Tứ giác AMIO là một tứ giác nội tiếp.

Giải nhanh bài 6 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp;

b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.

Giải nhanh:

a) Xét đường tròn đường kính MC có:

là góc nội tiếp chắn cung MC hay .

là góc nội tiếp chắn cung BC.

Mà là góc nội tiếp chắn cung BC ()

Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) Ta có là góc nội tiếp chắn cung MC mà MC là đường kính.

hay MN NC (1).

Gọi giao của AB và DC là E.

Xét EBC có hai đường chéo AC và BD mà AC cắt BD tại M.

M là đường trung trực  EBC EM AC (2).

Từ (1) và (2) E, M, N  thẳng hàng 

Giải nhanh bài 7 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.

b) Gọi O là trung điểm MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh ba điểm B, D, O  thẳng hàng.

Giải nhanh:

a) Ta có: ; .

Xét AMB và ADN có:

          AB = AD (tính chất hình vuông)

          (chứng minh trên)

AMB = ADN (g – c – g).

b) Vì AMB = ADN (chứng minh trên) AM = AN (hai cạnh tương ứng).

AMN cân tại A

Mà AO là đường trung tuyến của tam giác AO đồng thời là đường cao của tam giác.

MN OA tại O

hay là góc nội tiếp chắn cung AM.

hay là góc nội tiếp chắn cung AM

Tứ giác AOBM nội tiếp.

Có ;

mà hai góc này ở đối diện nhau.

Tứ giác ANDO là một tứ giác nội tiếp.

c) Vì tứ giác AOBM nội tiếp (chứng minh trên)

(hai góc nội tiếp chắn cung MB)

Vì tứ giác ANDO nội tiếp (chứng minh trên)

(hai góc nội tiếp chắn cung DN)

Mà (chứng minh trên)

Ta có

hay ba điểm B, D, O  thẳng hàng.