BÀI 2. TỨ GIÁC NỘI TIẾP

KHỞI ĐỘNG

Quan sát hai hình tứ giác ABCD và A’B’C’D’, hãy nêu nhận xét sự khác biệt về vị trí các đỉnh của mỗi hình đối với đường tròn trong hình đó.

Giải rút gọn:

- Hình a cả bốn điểm A, B, C, D đều nằm trên đường tròn (O).

- Hình b có ba điểm A’, B’, C’  nằm trên đường tròn (O’); điểm D’ nằm ngoài đường tròn.

1. ĐỊNH NGHĨA TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Hoạt động 1 (trang 70):

Các tứ giác trong Hình 1 có đặc điểm gì giống nhau?

Giải rút gọn:

Các đỉnh nằm trên đường tròn.

Thực hành 1 (trang 71):

Vẽ một tứ giác nội tiếp hình tròn và một tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Giải rút gọn:

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn

Tứ giác MNPQ là tứ giác không nội tiếp đường tròn

Vận dụng 1 (trang 71):

Có nhận xét gì về tứ giác trong hình hoa văn trang trí mặt lưng của chiếc ghế với đường tròn trong Hình 3.

Giải rút gọn:

Tứ giác có các đỉnh đều nằm trên đường tròn.

2. TÍNH CHẤT

Hoạt động 2 (trang 71):

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (Hình 4).

a) Chỉ ra các cung chắn bởi mỗi góc nội tiếp và .

b) Tính tổng số đo của các cung vừa tìm được.

c) Nêu kết luận về tổng số đo của hai góc và .

d) Có nhận xét gì về tổng số đo của hai góc đối diện còn lại của tứ giác ABCD?

Giải rút gọn:

a) - Góc nội tiếp chắn cung BD nhỏ.

- Góc nội tiếp chắn cung BD lớn.

b) Số đo cung BD nhỏ + số đo cung BD lớn = 360^o

c) số đo cung BD nhỏ.

  số đo cung BD lớn.

(số đo cung BD nhỏ + số đo cung BD lớn)

= .360^o = 180^o.

d) Xét tứ giác ABCD:

  = 360^o – = 180^o

Thực hành 2 (trang 71):

Tìm số đo các góc chưa biết của tứ giác ABCD trong Hình 6.

Giải rút gọn:

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

 .

.

Vận dụng 2 (trang 71):

Trong hình vẽ minh họa của học sinh có một tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O (Hình 7). Cho biết = 70^o, = 50^o. Tìm góc .

Giải rút gọn:

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

.

.

OAD có OA = OD = R 

OAD cân tại O

OAD đều .

3. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH VUÔNG

Hoạt động 3 (trang 72):

Cho hình chữ nhật ABCD và hình vuông MNPQ (Hình 8).

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. So sánh độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Nêu nhận xét về tâm và đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có cạnh bằng a.

Giải rút gọn:

a) - ABCD là hình chữ nhật OA = OB = OC = OD 

- Nhận xét: 

+ Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là giao điểm của hai đường chéo.

+ Đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là đường chéo của hình chữ nhật.

b) - Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ  là I.

- Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ  là:

R = IM = IN = IP = IQ = .

Thực hành 3 (trang 73):

Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông và hình chữ nhật trong Hình 11.

Giải rút gọn:

a) M là giao điểm của hai đường chéo

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm M và bán kính R =

b) O là giao điểm của hai đường chéo 

Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật STUV có tâm O và bán kính 

R =

Vận dụng 3 (trang 73):

Một người muốn thiết kế một bảng hiệu gồm một hình vuông nội tiếp một đường tròn bán kính R = 3cm (Hình 12). Tính diện tích hình vuông đó.

Giải rút gọn:

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông Đường chéo hình vuông là đường kính của hình tròn.

Độ dài cạnh hình vuông là: cm.

Hình vuông có diện tích: = 18 (cm²).

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Bài 1 (trang 73):

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy hoàn thành bảng sau vào vở.

Giải rút gọn:

Bài 2 (trang 74):

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C và H là trực tâm của tam giác đó. Hãy chỉ ra các tứ giác nội tiếp trong hình

Giải rút gọn:

Tứ giác nội tiếp có tổng số đo 2 góc đối bằng 180^o

=> AC’HB’, BC’HA, ACB’H, BCB’C’là tứ giác nội tiếp

Bài 3 (trang 74):

Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD trong mỗi trường hợp sau:

a) AB = 6 cm, BC = 8 cm;                   b) AC = 9cm.

Giải rút gọn:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm là O và bán kính R = OA = OB = OC = OD = .

a) cm.

cm.

b) cm.

Bài 4 (trang 74):

Cho hình vuông MNPQ nội tiếp đường tròn bán kính R. Tính độ dài cạnh và đường chéo của hình vuông theo R.

Giải rút gọn:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có tâm là O và bán kính  

MP = 2R.

MN² = OM² + ON² = 2R²

.

Bài 5 (trang 74):

Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là trung điểm của dây BC. Chứng minh AMIO là một tứ giác nội tiếp.

Giải rút gọn:

OBC có OB = OC = R 

OBC cân tại O 

Mà OI là trung tuyến 

OI BC tai I.

Xét tứ giác AMIO:

đối diện nhau.

Tứ giác AMIO là một tứ giác nội tiếp.

Bài 6 (trang 74):

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp;

b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.

Giải rút gọn:

a) Xét đường tròn đường kính MC có:

Góc nội tiếp chắn cung MC 

hay .

BDC nội tiếp đường tròn đường kính BC (1)

ABC vuông tại A

ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC (2)

Từ (1) và (2) tứ giác ABCD nội tiếp

b) Xét đường tròn đường kính MC có:

Góc nội tiếp chắn cung MC 

hay MN BC (1).

Gọi giao của AB và DC là E.

Xét EBC:

AC cắt BD tại M

CA BE ()

BD CE ()

EM BC (2).

Từ (1) và (2) E, M, N  thẳng hàng (đpcm).

Bài 7 (trang 74):

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.

b) Gọi O là trung điểm MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh ba điểm B, D, O  thẳng hàng.

Giải rút gọn:

a) ; .

Xét AMB và ADN có:

          AB = AD 

AMB = ADN (g – c – g) (đpcm)

b) AMB = ADN AM = AN 

AMN cân tại A

Xét AMN cân tại A có AO là đường trung tuyến của tam giác 

MN OA tại O

AOB nội tiếp đường tròn đường kính AM (1)

ABM vuông tại B

ABM nội tiếp đường tròn đường kính AM (2)

Từ (1) và (2) Tứ giác AOBM nội tiếp (đpcm)

Xét tứ giác ADNO:

đối diện nhau

Tứ giác ANDO nội tiếp (đpcm)

c) Xét tứ giác nội tiếp AOBM: 

là hai góc nội tiếp chắn cung MB

Xét tứ giác nội tiếp ANDO:

là hai góc nội tiếp chắn cung DN

Mà

ba điểm B, D, O thẳng hàng.