BÀI 3. ĐỊNH LÍ VIÈTE

KHỞI ĐỘNG

Khu vườn nhà kính hình chữ nhật của bác Thanh có nửa chu vi bằng 60 m, diện tích 884 m². Làm thế nào để tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn?

Giải chi tiết:

Gọi chiều dài khu vườn là a (0 < a < 60)

Gọi chiều rộng khu vườn là b (0 < b < a < 60)

Khu vườn có nửa chu vi là 60 m nên: a + b = 60.

Khu vườn có diện tích là 884 m² nên: ab = 884.

=> a và b là nghiệm của phương trình

x² – 60x + 884 = 0

x(x – 34) – 26(x – 34) = 0

(x – 26)(x – 34) = 0

x = 26 (thoả mãn) hoặc x = 34 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m, chiều rộng khu vườn là 26 m.

1. ĐỊNH LÍ VIÈTE

Hoạt động 1 (trang 18): Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x₁, x₂.

Tính x₁ + x₂ và x₁.x₂.

Giải chi tiết:

x₁ + x₂ =

x₁.x₂ =

Thực hành 1 (trang 19): Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) x² – 2 + 7 = 0;         b) 15x² – 2x – 7 = 0;                  c) 35x² – 12x + 2 = 0.

Giải chi tiết:

a) x² – 2 + 7 = 0

= (–)² – 1.7 = 0

=> Phương trình có nghiệm kép

Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = 2.

x₁.x₂ = = 7.

b) 15x² – 2x – 7 = 0

= (–1)² – 15.(–7) = 106 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt 

Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = .

x₁.x₂ = = .

c) 35x² – 12x + 2 = 0.

= (–6)² – 35.2 = –34 < 0

Phương trình có vô nghiệm

Thực hành 2 (trang 19): Cho phương trình x² + 4x – 21 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) ;                                             b) .

Giải chi tiết:

  = 2² – 1.(–21) = 25 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. 

Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = –4.

x₁.x₂ = = –21.

a)

b)  

= 16 + 63 = 79.

Thực hành 3 (trang 19): Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) –315x² – 27x + 342 = 0;                             b) 2022x² + 2023x + 1 = 0.

Giải chi tiết:

a) a + b + c = –315 – 27 + 342 = 0

Vậy .

b) a – b + c = 2022 – 2023 + 1 = 0

Vậy .

2. TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Hoạt động 2 (trang 20): Cho hai số u và v có tổng u + v = 8 và tích uv = 15.

a) Từ u + v = 8, biểu diễn u theo v rồi thay uv =15, ta nhận được phương trình ẩn v nào?

b) Nếu biểu diễn v theo u thì nhận được phương trình ẩn u nào?

Giải chi tiết:

a) u + v = 8 u = 8 – v, thay vào uv = 15 được: (8 – v).v = 15

b) u + v = 8 v = 8 – u => (8 – u).u = 15.

Thực hành 4 (trang 20): 

a) Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 44.

b) Có tồn tại hai số a và b có tổng bằng 7 và tích bằng 13 không?

Giải chi tiết:

a) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình

x² – 15x + 44 = 0

x(x – 4) – 11(x – 4) = 0

(x – 11)(x – 4) = 0

x = 4 hoặc x = 11

Vậy hai số cần tìm là 4 và 11.

b) S = a + b = 7; P = a.b =13.

S² – 4P = 7² – 4.13 = –3 < 0.

Vậy không tồn tại hai số a và b 

Vận dụng (trang 20): Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn trong khởi động (trang 18).

Giải chi tiết:

Gọi chiều dài khu vườn là a (0 < a < 60)

Gọi chiều rộng khu vườn là b (0 < b < a < 60)

Khu vườn có nửa chu vi là 60 m nên: a + b = 60.

Khu vườn có diện tích là 884 m² nên: ab = 884.

=> a và b là nghiệm của phương trình

x² – 60x + 884 = 0

x(x – 34) – 26(x – 34) = 0

(x – 26)(x – 34) = 0

x = 26 (thoả mãn) hoặc x = 34 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m, chiều rộng khu vườn là 26 m.

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Bài 1 (trang 21): Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) trong mỗi phương trình:

a) 3x² – 9x + 5 = 0;                    b) 25x² – 20x + 4 = 0;

c) 5x² – 9x + 15 = 0;                  d) 5x² – 2x – 3 = 0.

Giải chi tiết:

a) 3x² – 9x + 5 = 0

= (–9) ² – 4.3.5 = 21 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. 

Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = 3.

x₁.x₂ = .

b) 25x² – 20x + 4 = 0

= (–10) ² – 4.25 = 0

Phương trình có nghiệm kép. 

Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = .

x₁.x₂ = .

c) 5x² – 9x + 15 = 0

= (–9) ² – 4.5.15 = –219 < 0

Phương trình vô nghiệm.

d) 5x² – 2x – 3 = 0

= (–) ² – (–3).5 = 24 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. 

Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = .

x₁.x₂ = .

Bài 2 (trang 21): Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) 24x² – 19x – 5 = 0;                 b) 2,5x² + 7,2x + 4,7 = 0;

c) x² + 5x + = 0;                    d) 2x² – (2 +)x + = 0.

Giải chi tiết:

a) a + b + c = 24 – 19 – 5 = 0

Vậy .

b)  a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0

Vậy = 1,88.

c) a – b + c = – 5 + = 0

Vậy .

d) a + b + c = 2 – (2 +) + = 0

Vậy .

Bài 3 (trang 21): Tìm hai số u và v (nếu có) trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 29, uv = 154;   b) u + v = – 6, uv = – 135;         c) u + v = 5, uv = 24.

Giải chi tiết:

a) u và v là nghiệm của phương trình

x² – 29x + 154 = 0

x(x – 7) – 22(x – 7) = 0

(x – 22)(x – 7) = 0

x = 22 hoặc x = 7

Vậy u = 22; v = 7 hoặc u = 7; v = 22.

b) u và v là nghiệm của phương trình

x² + 6x – 135 = 0

x(x – 9) + 15(x – 9) = 0

(x + 15)(x – 9) = 0

x = –15 hoặc x = 9

Vậy u = –15; v = 9 hoặc u = 9; v = –15.

c) u và v là nghiệm của phương trình

x² – 5x + 24 = 0

= (–5)² – 4.1.24 = –71 < 0

Phương trình vô nghiệm.

Vậy không tìm được u và v thỏa mãn u + v = 5, uv = 24.

Bài 4 (trang 21): Cho phương trình x² – 19x – 5 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) A = ;             b) B = ;                  c) C =

Giải chi tiết:

= (–19)² – 4.1.(–5) = 381 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. 

Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = 19.

x₁.x₂ = = –5.

a) A =

= 19² – 2.(–5) = 371.

b) B =

c) C =

Bài 5 (trang 21): Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 116m, diện tích 805 m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Giải chi tiết:

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là a, b (0 < a < 58; m)

Khu vườn có chu vi là 116m nên: a + b = 58 (1).

Khu vườn có diện tích là 805 m² nên: ab = 805 (2).

Từ (1) và (2): a và b là nghiệm của phương trình

x² – 58x + 805 = 0

x(x – 35) – 23(x – 35) = 0

(x – 23)(x – 35) = 0

x = 23 (thoả mãn) hoặc x = 35 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 35 m.

Vậy chiều rộng khu vườn là 23 m.