BÀI 3. ĐA GIÁC ĐỀU VÀ PHÉP QUAY

KHỞI ĐỘNG

Trong mỗi đường gấp khúc khép kín nối các đỉnh của mỗi hình dưới đây, nhận xét về:

- độ dài các đoạn thẳng;

- góc hợp bởi hai đoạn thẳng liên tiếp.

Giải rút gọn:

- Độ dài các đoạn thẳng là bằng nhau.

- Góc hợp bởi hai đoạn thẳng liên tiếp là bằng nhau.

1. KHÁI NIỆM ĐA GIÁC ĐỀU

Hoạt động 1 (trang 75):

Có nhận xét gì về các cạnh và góc của mỗi đa giác sau?

Giải rút gọn:

- Độ dài các cạnh của mỗi đa giác là bằng nhau.

- Số đo góc của mỗi đa giác là bằng nhau.

Thực hành 1 (trang 77):

Cho đường tròn (O; R), trên đó lấy các điểm M, N, P, Q, R sao cho số đo các cung MN, NP, PQ, QR, RM bằng nhau. Đa giác MNPQR có là đa giác đều không? Vì sao?

Giải rút gọn:

Các cung MN, NP, PQ, QR, RM có số đo bằng nhau

⇒ Số đo mỗi cung là 360^o : 5 = 72^o.

là góc ở tâm chắn cung MN .

Xét MON, có: OM = ON = R

MON cân tại O.

.

Tương tự, ta có .

.

Chứng minh tương tự: = = = = =  (1)

Xét OMN và ONP có:

          ;

          OM = OP;

          ON chung.

OMN = ONP (c – g – c).

MN = NP 

Chứng minh tương tự: MN = NP = PQ = QR = RM (2)

Từ (1) và (2): MNPQR là một đa giác đều.

Vận dụng 1 (trang 77):

Cho lục giác đều ABCDEF có M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DE, EF, FA. Đa giác MNPQRS có là đa giác đều không? Vì sao?

Giải rút gọn:

Do ABCDEF là lục giác đều nên:

 .

và AB = BC = CD = DE = EF = FA.

Vì M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DE, EF, FA.

AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QE = ER = RF = FS = SA.

Xét SAM và MBN có:

          AM = BN 

          SA = MB 

SAM = MBN  (c – g – c).

SM = MN 

Chứng minh tương tự ta được: MN = NP, NP = PQ, QR = RS, RS = SM 

SM = MN = NP = PQ = QR = RS (1)

ASM có AS = AM ASM cân tại A.

Tương tự ta thu được: .

.

Chứng minh tương tự, ta được: 

(2)

Từ (1) và (2): MNPQRS là đa giác đều.

2. PHÉP QUAY

Hoạt động 2 (trang 77):

Vẽ hình vuông ABCD tâm O (Hình 5a). Cắt một tấm bìa hình vuông (gọi là ) cùng độ dài cạnh với hình vuông ABCD (Hình 5b). Đặt hình vuông trùng khít lên hình vuông ABCD sao cho tại đỉnh M của trùng với điểm A, rồi dùng đinh ghim cố định tâm của tại tâm O của hình vuông ABCD (Hình 5c). Quay hình vuông quanh điểm O ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi đỉnh M của trùng lại với đỉnh A (Hình 5d).

a) Khi điểm M trùng với B thì M vạch lên một cung tròn có số đo bằng bao nhiêu?

b) Trong quá trình trên, hình vuông trùng khít với hình vuông ABCD bao nhiêu lần (không tính vị trí ban đầu trước khi quay)? Ứng với mỗi lần đó, điểm M vạnh nên cung có số đo bao nhiêu?

Giải rút gọn:

a) Quay hình vuông ngược chiều kim đồng hồ đến khi điểm M trùng với B thì M vạch lên một cung tròn có số đo bằng 90^o.

b) Hình vuông trùng khít với hình vuông ABCD 4 lần:

- Lần 1, điểm M vạch lên cung số đo 90^o.

- Lần 2, điểm M vạch lên cung số đo 180^o.

- Lần 3, điểm M vạch lên cung số đo 270^o.

- Lần 4, điểm M vạch lên cung số đo 360^o.

Thực hành 2 (trang 78):

Tìm phép quay biến hình ngũ giác đều tâm I thành chính nó (Hình 8).

Giải rút gọn:

5 đỉnh và 5 cạnh của ngũ giác đều chia đường tròn (I) thành 5 cung bằng nhau và mỗi cung đo có số đo 72^o. 

⇒ Các phép quay 72^o, 144^o, 216^o, 288^o hoặc 360^o quanh điểm I cùng chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ biến ngũ giác đều thành chính nó

Vận dụng 2 (trang 78):

Một vòng quay may mắn có dạng hình đa giác đều 10 cạnh (Hình 9). Tìm các phép quay biến đa giác này thành chính nó.

Giải rút gọn:

10 đỉnh và 10 cạnh của đa giác đều chia đường tròn thành 10 cung bằng nhau và mỗi cung có số đo 36^o. 

⇒ Các phép quay 36^o, 72^o, 108^o, 144^o, 180^o, 216^o, 252^o, 288^o, 324^o, 360^o quanh tâm đường tròn cùng chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ biến đa giác đều 10 cạnh thành chính nó

3. HÌNH PHẲNG ĐỀU TRONG THỰC TẾ

Thực hành 3 (trang 79):

Em hãy tìm một số hình phẳng đều trong thực tế

Giải rút gọn:

Hình phẳng đều trong thực tế: rubik, bàn cờ,…

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Bài 1 (trang 79):

Gọi tên đa giác đều trong mỗi hình sau và tìm các phép quay có thể biến mỗi hình dưới đây thành chính nó.

Giải rút gọn:

a) Tam giác đều. 

Các phép quay biến tam giác đều thành chính nó là các phép quay 120^o, 240^o hoặc 360^o quanh tâm O cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

b) Hình vuông. 

Các phép quay biến hình vuông thành chính nó là các phép quay 90^o, 180^o, 270^o, 360^o quanh tâm I cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

c) Ngũ giác đều. 

Các phép quay biến ngũ giác đều thành chính nó là các phép quay 72^o, 144^o, 216^o, 288^o, 360^oquanh tâm A cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

d) Lục giác đều. 

Các phép quay biến lục giác đều thành chính nó là các phép quay 60^o, 120^o, 180^o, 240^o, 300^o, 360^o quanh tâm B cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

e) Bát giác đều. 

Các phép quay biến bát giác đều thành chính nó là các phép quay 45^o, 90^o, 135^o, 180^o, 225^o, 270^o, 315^o, 360^o quanh tâm C cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

Bài 2 (trang 79):

Cho đa giác đều 9 cạnh có tâm O và AB, BC là hai cạnh đa giác (Hình 12).

a) Tìm số đo các góc , , .

b) Tìm các phép quay biến đa giác thành chính nó.

Giải rút gọn:

a) 9 đỉnh của đa giác chia đường tròn thành 9 cung bằng nhau, số đo mỗi cung là: 360^o : 9 = 40^o.

là góc ở tâm chắn cung AB nhỏ

.

Xét AOB có: OA = OB = R AOB cân tại O

.

Tương tự: .

.

b) Các phép quay biến đa giác thành chính nó là các phép quay 40^o, 80^o, 120^o, 160^o, 200^o, 240^o, 280^o, 320^o hoặc 360^o quanh tâm O cùng chiều hay ngược chiều kim đồng hồ.

Bài 3 (trang 80):

Đường viền ngoài của chiếc đồng hồ trong Hình 13 được làm theo hình đa giác đều nào? Tìm phép quay biến đa giác này thành chính nó.

Giải rút gọn:

- Hình bát giác đều.

- 8 đỉnh của đa giác được chia thành 8 phần bằng nhau, mỗi cung có số đo 45^o. Các phép quay biến bát giác đều thành chính nó là 45^o, 90^o, 135^o, 180^o, 225^o, 270^o, 315^o, 360^o theo chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ.

Bài 4 (trang 80):

Cho đường tròn (O; R).

a) Vẽ hình tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều có các đỉnh nằm trên (O; R).

b) Tính các cạnh của các hình vừa vẽ theo R.

Giải rút gọn:

a) 

b) 

- Tam giác đều nội tiếp đường tròn nên:

(a là độ dài cạnh tam giác đều)

- Hình vuông nội tiếp đường tròn nên:

(x là độ dài cạnh hình vuông)

- 6 đỉnh và 6 cạnh lục giác đều chia đường tròn thành 6 phần bằng nhau, mỗi cung có số đo 60^o

Các góc ở tâm đều bằng 60^o

Lục giác đều gồm 6 tam giác đều

Độ dài cạnh của lục giác đều là R.

Bài 5 (trang 80):

Tìm các hình phẳng có tính đều:

a) Trong tự nhiên;                      b) Trong sản xuất, thiết kế, mĩ thuật.

Giải rút gọn:

a) Mật ong, hoa tuyết,...

b) Trang trí nội thất, gạch,…

Bài 6 (trang 80):

Vòng trong của mái giếng trời hình hoa sen của nhà ga Bến Thành (Thành phố Hồ Chí Minh) có dạng đa giác đều 12 cạnh (Hình 14).

Hãy chỉ ra các phép quay biến đa giác đều thành chính nó.

Giải rút gọn:

12 đỉnh của đa giác chia đường tròn thành 12 phần bằng nhau và số đo mỗi cung là 30^o. 

Các phép quay biến đa giác này thành chính nó là các phép quay 30^o, 60^o, 90^o, 120^o, 150^o, 180^o, 210^o, 240^o, 270^o, 300^o, 330^o hoặc 360^o quanh tâm theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ.