CHƯƠNG 9

BÀI 3 : ĐA GIÁC ĐỀU VÀ PHÉP QUAY

Bài tập 1 (trang 86):

Cho đường tròn (O; R). Lấy các điểm A₁, A₂, A₂, …, A₁₀ trên đường tròn (O; R) sao cho các điểm này chia đường tròn thành 10 cung có số đo bằng nhau. Chứng minh đa giác A₁A₂ A₃…A₁₀ là một đa giác đều.

Bài giải chi tiết:

⦁ Các điểm A₁, A₂, A₃, …, A₁₀ chia đường tròn thành 10 cung bằng nhau, mỗi cung có số đo bằng =36°, do dó =  =36°

Xét ∆OA₁A₂ và ∆OA₂A₃ có:

OA₁ = OA₂; ˆA1OA2== ; OA₂ = OA₃

Do đó ∆OA₁A₂ = ∆OA₂A₃ (c.g.c).

Suy ra A₁A₂ = A₂A₃ (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta có 10 tam giác cân OA₁A₂, OA₂A₃,…, OA₁₀A₁ bằng nhau vì cùng có hai cạnh bằng R và góc ở đỉnh bằng 36°, suy ra A₁A₂ = A₂A₃ = … = A₁₀A₁ nên đa giác có các cạnh bằng nhau.

⦁ Xét ∆OA₁A₂ cân tại O (do OA₁ = OA₂) nên

===  = 72°.

Tương tự, ta cũng có ∆OA₂A₃ cân tại O (do OA₂ = OA₃) nên

===  = 72°.

Suy ra = + = 72° + 72°=  144°.

Do đó ta tính được mỗi góc của đa giác A₁A₂A₃…A₁₀ bằng 144°.

Vậy đa giác A₁A₂A₃... A₁₀ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau nên là một đa giác đều.

Bài tập 2 (trang 86):

Các hình phẳng đều có trong Hình 10 cho ta hình ảnh của đa giác đều nào? Tính số đo góc của đa giác đều đó.

Bài giải chi tiết:

Các hình phẳng đều có trong Hình 10 cho ta hình ảnh của lục giác đều.

Tổng số đo mỗi góc của hình lục giác đều bằng tổng số đo của hai tứ giác và bằng 2.360° = 720°.

Mà các góc của lục giác đều có số đo bằng nhau nên số đo mỗi góc của lục giác đều bằng =120°.

Bài tập 3 (trang 86):

Dựa trên gợi ý của hình ngũ giác đều (Hình 11a), tìm phép quay biến hình con sao biển thành chính nó (Hình 11b).

Bài giải chi tiết:

Ta thấy hình con sao biển là hình phẳng đều tương tự ngũ giác đều tâm O.

Các phép quay biến hình con sao biển thành chính nó là phép quay 72°, 144°, 216°, 288° hoặc 360° tâm O cùng chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ.

Bài tập 4 (trang 86):

Ngũ giác đài hay Lầu năm góc là trụ sở Bộ Quốc phòng Hoa Kỳ có dạng hình ngũ giác đều với độ dài cạnh khoảng 280 m như Hình 12. Tính khoảng cách từ tâm đối xứng đến một cạnh của ngũ giác đều này (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của mét).

Bài giải chi tiết:

Gọi O là tâm đối xứng, AB là cạnh của ngũ giác đều. Kẻ OH ⊥ AB tại H.

Vì ngũ giác đã cho là ngũ giác đều nên nội tiếp đường tròn (O; OA) và các đỉnh của ngũ giác đều chia đường tròn thành 5 cung bằng nhau, do đó = =72°

Xét ∆OAB cân tại O (do OA = OB) nên đường cao OH đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác.

Suy ra =  =36° và H là trung điểm của AB nên AH= = =140 (m)

Xét ∆OAH vuông tại H, ta có:

   OH = AH . cot 36° = 140 . cot 36° ≈ 192,7 (m).

Bài tập 5 (trang 87):

Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh có đường tròn (O; R) đi qua các đỉnh của hình vuông và có đường tròn (O; r) tiếp xúc với các cạnh của hình vuông. Tính theo a bán kính R và r.

Bài giải chi tiết:

⦁ Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó OA = OB = OC = OD và AC ⊥ BD.

Vì ABCD là hình vuông ABCD nên nó nội tiếp đường tròn (O; R) với bán kính là R=OA=OB=OC=OD=   

⦁ Trong tam giác AOD vuông cân tại O (do OA = OD và  = 90°), vẽ đường cao OP, khi đó OP cũng đồng thời là đường trung tuyến của tam giác AOD.

Do đó OP  = = (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Tương tự, ta có điểm O cách đều các cạnh của hình vuông một khoảng

Do đó, đường tròn (O; r) với r= tiếp xúc với các cạnh của hình vuông ABCD.

Bài tập 6 (trang 87):

Hình ảnh những bông hoa dưới đây là hình phẳng đều tương tự các đa giác đều nào?

Bài giải chi tiết:

Hình 13a: Hình ảnh bông hoa là hình phẳng đều tương tự tứ giác đều (hình vuông);

Hình 13b: Hình ảnh bông hoa là hình phẳng đều tương tự lục giác đều;

Hình 13c: Hình ảnh bông hoa là hình phẳng đều tương tự ngũ giác đều;

Hình 13d: Hình ảnh bông hoa là hình phẳng đều tương tự bát giác đều.