CHƯƠNG 6 

 BÀI 1. HÀM SỐ  VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax²

 (a0)

Bài tập 1 (trang 7): 

Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0). Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số với a tìm được trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số đi qua A(–3; 27).

b) Đồ thị của hàm số đi qua B(–2; –3).

Bài giải chi tiết: 

a) Với A(–3; 27) ta thay x = ‒3; y = 27 vào hàm số y = ax² ta được:

27 = a.(‒3)² hay 9a = 27, suy ra a = 3.

Vậy y = 3x².

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒2; 12); B (‒1; 3); O(0; 0); C(1; 3); D(2; 12).

• Đồ thị của hàm số y = 3x² là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Với B(– 2; – 3) ta thay x = ‒2; y = ‒3 vào hàm số y = ax² ta được:

‒3 = a.(‒2)² hay 4a = ‒ 3, suy ra a=

Vậy y= x  2 

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒2; ‒3); B(−1; );B(−1; ; O(0; 0); C(1; ); D(2; ‒3).

• Đồ thị của hàm số y=x²  là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

Bài tập 2 (trang 7): Cho hàm số y= x²

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Trong các điểm (;),(;),(−4;12),(4;3),điểm nào thuộc đồ thị của hàm số?

Bài giải chi tiết: 

a) Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒2; 3); B(−1; ); O(0; 0); D(1; ); D(2; 3).

• Đồ thị của hàm số y= x² là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) • Thay x=− , vào hàm số y= x² ,ta được:

⋅ ()²=  ⋅  =  ≠ 

Do đó điểm ( ; ) thuộc đồ thị hàm số y= x² ,còn điểm ( ; ) không thuộc đồ thị hàm số y=   x²

• Thay x = ‒4, vào hàm số y= x² ta được

⋅(−4)² =  ⋅ 16 = 12     

Do đó điểm (‒4; 12) thuộc đồ thị hàm số y= x²

• Thay x = 4, vào hàm số y= x², ta được:

⋅4² = ⋅  16  =  12  ≠ 3.

Do đó điểm (4; 3) không thuộc đồ thị hàm số y= x²

Vậy các điểm ( ; ) ;(−4;12) thuộc đồ thị hàm số y= x²

Bài tập 3 (trang 7): Cho parabol (P):y= x²P:y=32x2 và đường thẳng d: y = 3x.

a) Vẽ (P) và d trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy.

b) Dựa vào hình vẽ, tìm toạ độ giao điểm của (P) và d.

Bài giải chi tiết: 

a) ‒ Vẽ đồ thị hàm số (P):y=32x2P:y=32x2

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(–2; 6); B(−1; ), O(0; 0); B′(1; ),, A’(2; 6).

• Đồ thị của hàm số y= x² là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

‒ Vẽ đường thẳng d: y = 3x.

Đồ thị của hàm số y = 3x là đường thẳng đi qua các điểm O(0; 0) và A’(2; 6).

Đồ thị của hai hàm số y=   x² và y = 3x được vẽ như sau:

b) Dựa vào hình vẽ, ta có các giao điểm của (P) và d là O(0; 0) và A’(2; 6).

Bài tập 4 (trang 7): Cho hàm số y=−

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm A và B có hoành độ lần lượt bằng 1 và –2. Hãy xác định a và b. x²

Bài giải chi tiết: 

a) Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒4; ‒8); B (‒2; ‒2); O(0; 0); C(2; ‒2); D(4; ‒8).

• Đồ thị của hàm số là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Do đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm A và B có hoành độ lần lượt bằng 1 và  – 2 nên x_A = 1; x_B = ‒2.

Thay toạ độ của điểm A(1; y_A) vào y =  , ta được yA= = .

Do đó A(1; ).

Thay toạ độ của điểm  B(‒2; y_B) vào y  = ta được yB = = =−2.

Do đó B(– 2; – 2).

Điểm A(1; )  thuộc đường thẳng y = ax + b nên thay x=1,y=  x=1 vào hàm số y = ax + b, ta được:  =  a ⋅ 1 +b  hay a+b= (1)

Điểm B(–2; –2) thuộc đường thẳng y = ax + b nên thay x = –2, y = –2 vào hàm số y = ax + b, ta được: –2 = a.(–2) + b hay – 2a + b = – 2. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình a+b=   

                                                         -2a + b = -2

Trừ từng vế phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

3a =   , suy ra a =  

Thay a=   vào phương trình a+b=−  , ta được:

 +   b=  −  , suy ra b = –1.

Vậy a=12, b=−1.

Bài tập 5 (trang 7): Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0).

a) Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị (P) của hàm số cắt đường thẳng d: y = –2x + 4 tại điểm B có hoành độ bằng 1. Vẽ đồ thị của hàm số với a vừa tìm được.

b) Xác định m để đường thẳng d’: y = (m + 3)x – 2 cắt đồ thị (P) của hàm số tại điểm A có hoành độ bằng 4.

Bài giải chi tiết: 

a) Do đồ thị (P) cắt đường thẳng d tại điểm B có hoành độ bằng 1 nên x = 1, thay vào hàm số y = –2x + 4, ta được y = ‒2.1 + 4 = ‒2 + 4 = 2.

Do đó B(1; 2).

Vì B(1; 2) cũng thuộc đồ thị (P): y = ax², nên ta có:

2 = a.1², suy ra a = 2.

Vậy (P): y = 2x².

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm M(‒2; 8); N(‒1; 2); O(0; 0); B(1; 2); Q(2; 8).

• Đồ thị của hàm số y = 2x² là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Do đường thẳng d’: y = (m + 3)x – 2 cắt đồ thị (P) của hàm số tại điểm A có hoành độ bằng 4 nên x = 4

Thay x = 4 vào hàm số y = 2x², ta được: y = 2.4² = 2.16 = 32.

Do đó A(4; 32).

Vì điểm A(4; 32) cũng thuộc d’ nên ta có:

32 = (m + 3).4 – 2

32 = 4m + 12 ‒ 2

4m = 22

m=

Vậy m=  thì đường thẳng d’: y = (m + 3)x – 2 cắt đồ thị (P) của hàm số tại điểm A có hoành độ bằng 4.

Bài tập 6 (trang 7):

Cho đồ thị của các hàm số y = ax² (a ≠ 0) và y = a’x² (a’ ≠ 0) (Hình 4).

Cho biết điểm A thuộc đồ thị của hàm số y = ax², điểm B thuộc đồ thị của hàm số y = a’x².

a) Xác định các hệ số a và a’.

b) Lấy điểm A’ đối xứng với A qua trục tung. Điểm A’ có thuộc đồ thị của hàm số y = ax² không? Vì sao?

c) Biết rằng điểm M(4; b) thuộc đồ thị của hàm số y = a’x², hãy tính b. Điểm M’(– 4; b) có thuộc đồ thị của hàm số y = a’x² không? Vì sao?

             Bài giải chi tiết: 

Từ Hình 4 ta có A(2; –4) và B(2; –2).

a) ⦁ Do điểm A thuộc đồ thị của hàm số y = ax² nên thay x = 2; y = –4 vào hàm số y = ax², ta được

‒4 = a.2² hay 4a = ‒4, suy ra a = –1.

Do đó (P): y = –x².

⦁ Do điểm B thuộc đồ thị của hàm số y = a’x² nên thay toạ độ điểm x = 2; y = –2 vào hàm số y = a’x², ta được

‒2 = a.2² hay 4a = ‒2, suy ra a′=

Do đó (P'):y= x²

b) Cách 1. Ta có: đồ thị hàm số (P): y = –x² là một parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

Mà hai điểm A, A’ đối xứng với nhau qua trục tung và A thuộc (P) nên điểm A’ cũng thuộc (P): y = –x².

Cách 2. Điểm A’ đối xứng với điểm A qua trục tung nên ta có A’(–2; –4).

Thay x = –2 vào hàm số y = –x², ta được: y = –(–2)² = –4.

Do đó điểm A’(–2; –4) cũng thuộc (P): y = –x².

c) Cách 1. Ta có: đồ thị hàm số (P'):y= x² là một parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

Xét điểm M(4; b) và M’(–4; b) là hai điểm có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau nên M, M’ là hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung, mà điểm M(4; b) thuộc đồ thị (P’) nên điểm M’(–4; b) cũng thuộc (P'):y= x² 

Cách 2. Do điểm M(4; b) thuộc đồ thị của hàm số y= x² , nên thay x = 4; y = b vào hàm số y= x² , ta được

b= . 4² suy ra b = –8.

Do đó M(4; –8) và M’(–4; –8).

Thay x = –4 vào hàm số y= x² , ta được:

y=−⋅(−4)²=−12⋅16=−8.y=−12⋅−42=−12⋅16=−8.

Vậy điểm M’(–4; –8) thuộc (P'):y= x² 

Bài tập 7 (trang 8):  Một bể nước dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông có độ dài cạnh là x (m). Chiều cao của bể bằng 1,5 m. Gọi V là thể tích của bể.

a) Viết công thức tính thể tích V (m³) theo x.

b) Giả sử chiều cao của bể không đổi. Tính thể tích của bể khi x lần lượt nhận các giá trị: 1; 2; 3. Khi x tăng lên 2 lần, 3 lần thì thể tích của bể tăng lên mấy lần?

Bài giải chi tiết: 

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng 1,5 m và đáy là hình vuông cạnh x (m) là: V = 1,5x² (m³).

b) Khi x = 1 thì V = 1,5.1² = 1,5 (m³);

Khi x = 2 thì V = 1,5. 2² = 6 (m³);

Khi x = 3 thì V = 1,5.3² = 13,5 (m³).

Khi x tăng lên 2 lần thì thể tích của bể là:

V’ = 1,5.(2x)² = 1,5.4x² = 4.1,5x² = 4V (m³).

Khi x tăng lên 3 lần thì thể tích của bể là:

V’ = 1,5.(3x)² = 1,5.9x² = 9.1,5x² = 9V (m³).

Vậy khi x tăng lên 2 lần thì thể tích của bể tăng lên 4 lần, khi x tăng lên 3 lần thì thể tích của bể tăng lên 9 lần.

Bài tập 8 (trang 8):  Nhiệt lượng toả ra trong dây dẫn được tính bởi công thức:

Q = 0,24I²Rt,

trong đó Q là nhiệt lượng tính bằng calo (cal), R là điện trở tính bằng ôm (Ω), I là cường độ dòng điện tính bằng ampe (A), t là thời gian tính bằng giây.

Xét dòng điện chạy qua một dây dẫn có điện trở R = 10 Ω trong thời gian 1 giây.

a) Hoàn thành bảng giá trị sau:

b) Tính cường độ dòng điện trong dây dẫn khi nhiệt lượng toả ra là 135 calo.

Bài giải chi tiết: 

Với R = 10 Ω, t = 1 giây ta có: Q = 0,24.10.I².1 = 2,4I² (cal).

a) Thay I = 1 vào hàm số Q = 2,4I², ta được: Q = 2,4.1² = 2,4 (cal).

Thay I = 2 vào hàm số Q = 2,4I², ta được: Q = 2,4.2² = 9,6 (cal).

Thay I = 3 vào hàm số Q = 2,4I², ta được: Q = 2,4.3² = 21,6 (cal).

Thay I = 4 vào hàm số Q = 2,4I², ta được: Q = 2,4.4² = 38,4 (cal).

Ta được bảng giá trị như sau:

b) Với Q = 135 (cal) thay vào hàm số Q = 2,4I², ta được:

2,4I² = 135, suy ra I² = 56,25, do đó I = 7,5 (A) (do I > 0).

Vậy cường độ dòng điện trong dây dẫn bằng 7,5 A khi nhiệt lượng tỏa ra là 135 calo.