BÀI 3: GÓC Ở TÂM, GÓC NỘI TIẾP

Bài tập 1 trang 92 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm số đo các cung nhỏ và số đo của góc nội tiếp tương ứng trong mỗi hình sau:

Bài giải chi tiết: 

a) Ta có: ˆACL,ˆARL lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AL của đường tròn (R).

Do đó sđAL⏜=ARL^=40°; θ=ˆACL==20°.

b) Ta có: ˆRFM,ˆROM lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung RM của đường tròn (O).

Do đó: sđRM⏜=ˆROM=116°; θ=ˆRFM=sđRM⏜ =58°.

Bài tập 2 trang 92 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R) và dây cung MN=R√3. Tính số đo của mỗi cung MN ⏜ (cung lớn và cung nhỏ).

Bài giải chi tiết: 

Kẻ OH ⊥ MN tại H.

Xét ∆OMN cân tại O (do OM = ON = R) có OH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, hay H là trung điểm của MN.

Do đó: HM = HN =

Xét ∆HMO vuông tại H, có: 
cosˆHMO = ˆHMO=30°

Mà ∆OMN cân tại O nên ta có:

ˆMON=180°−2ˆHMO=180°−2⋅30°=120

Suy ra số đo cung nhỏ MN là 120°, số đo cung lớn MN là 360° – 120° = 240°.

Bài tập 3 trang 92 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M và ˆAMB=35°.

a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB.

b) Tính số đo mỗi cung AB⏜ (cung lớn và cung nhỏ).

Bài giải chi tiết: 

a) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của (O) nên OA ⊥ AM; OB ⊥ BM.

Suy ra ˆOAM=90°,ˆOBM=90°.

Xét tứ giác AOBM, ta có:
OAM+ˆOBM+ˆAMB+ˆAOB=360°

Suy ra 90°+90°+35°+ˆAOB=360°

Do đó ˆAOB=360°−90°−90°−35°=145°.

b) Vì ˆAOB=145° nên số đo cung nhỏ AB là 145° và số đo cung lớn AB là:

360° – 145° = 215°.

Bài tập 4 trang 93 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường phân giác của ˆOBO' cắt các đường tròn (O), (O’) tại các điểm thứ hai theo thứ tự là C và D. So sánh ˆBOC và ˆBO'D.

Bài giải chi tiết: 

Ta có ˆOBC=ˆCBO′ (vì BC là đường phân giác của ˆOBO′).OBO'^). (1)

Do B, C thuộc đường tròn (O) nên OB = OC, suy ra ∆OBC cân tại O, do đó ˆOBC=ˆOCB (2)

Do B, D thuộc đường tròn (O’) nên O’B = O’D, suy ra ∆O’BD cân tại O’, do đó ˆCBO′=ˆO′DB. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ˆOBC=ˆOCB=ˆCBO′=ˆO′DB

Mặt khác, ˆBOC=180°−ˆOBC−ˆOCB và ˆBO′D=180°−ˆO′BD−ˆODB

Do đó ˆBOC=ˆBO'D.

Bài tập 5 trang 93 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và một dây cung AP. Tia AP cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại T. Chứng minh rằng:

Bài giải chi tiết: 

a) Do AB là đường kính của đường tròn (O), P thuộc đường tròn (O), suy ra ˆAPB=90°.

Do đó ˆPAB+ˆB1=90° (1)

Do tia AP cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại T nên AB ⊥ BT

Do đó ˆB1+ˆB2=90° (2)

Từ (1), (2) suy ra ˆATB=ˆB1

Mà ˆB1=ˆAOP (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AP) nên ˆATB=ˆAOP =AOP^ hay ˆAOP=2ˆATB.

b) Do A, P thuộc đường tròn (O) nên AO = OP, do đó ∆AOP cân tại O, suy ra ˆPAO=ˆAPO.

Mà ˆPAO=ˆPBT (cùng phụ với ˆB1),  suy ra ˆAPO=ˆPBT.