CHƯƠNG 9

BÀI 2 : TỨ GIÁC NỘI TIẾP. ĐA GIÁC ĐỀU

Bài tập 1 (trang 79): Cho tam giác ABC có AB = AC = 12 cm và =120°. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài giải chi tiết:

Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB và AC cắt nhau tại điểm O.

Khi đó OA = OB và OA = OC.

Do đó R = OA = OB = OC, suy ra đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có AB = AC và OB = OC nên OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực OA của tam giác cũng là tia phân giác của góc BAC, suy ra    =  =

Xét ∆OAB cân tại O (OA = OB) có  = 60°  nên tam giác OAB là tam giác đều.

Vậy R = OA = AB = 12 (cm).

Bài tập 2 (trang 79):  Cho tam giác ABC có đường cao AH (H ∈ BC) và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Chứng minh AB.AC = AH.AD.

Bài giải chi tiết:

Do AH là đường cao tam giác ABC nên AH ⊥ BC, suy ra  = 90°

Ta có  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) đường kính AD nên 90°.

Xét ∆AHB và ∆ACD có:

= 90°;

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn (O)).

Do đó ∆AHB ᔕ ∆ACD (g.g).

Suy ra  hay AB.AC = AH.AD. 

Bài tập 3 (trang 79):  Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5 cm, AD = 12 cm. Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ADC.

Bài giải chi tiết:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai tam giác vuông ABC và ADC có chung cạnh huyền AC, do đó chúng cùng có đường tròn ngoại tiếp là (O; R) với tâm O là trung điểm của AC và bán kính bằng R=

Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABC vuông tại B, ta có:

AC² = AB² + BC² = 5² + 12² = 169.

Suy ra AC= =13 (cm).

Do đó R= = 6,5 

Bài tập 4 (trang 79): Cho tam giác đều MNP có cạnh bằng 2a. Tính theo a bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác MNP

Bài giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm, MH là đường cao của tam giác đều MNP.

Khi đó, đường tròn (G; GM) là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP; đường tròn (G; GH) là đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP.

Xét ∆MNP đều có MH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, hay H là trung điểm của NP, do đó NH=PH=
NP= 2a. =  a

Xét ∆MNH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

MN² = MH² + NH²

Suy ra MH² = MN² - NH^{2 =  (}2a )² -  (a )² = 3a

Do đó MG= MH= ⋅ 3a = 2a; GH = MH = ⋅ 3a = a.

Vậy bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác MNP lần lượt là 2a và a.

Bài tập 5 (trang 79): 

Để giữ vệ sinh trong một khu hội chợ, cứ mỗi cụm 3 quầy hàng A, B, C người ta lại đặt một thùng rác tại điểm O cách đều A, B, C. Cho biết có một nhà vệ sinh W nằm chính giữa hai quầy hàng A, B và khoảng cách từ W đến A và O lần lượt là 4 m và 3 m (Hình 11). Tính khoảng cách từ mỗi quầy hàng đến điểm đặt thùng rác.

Bài giải chi tiết:

Điểm O cách đều 3 điểm A, B, C nên O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Suy ra O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC.

Trong tam giác OWA vuông tại W, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OW² + WA² = 3² + 4² = 25.

Suy ra OA=  =5 (m) 

Vậy khoảng cách từ mỗi quầy hàng đến điểm đặt thùng rác là 5 m.