BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

KHỞI ĐỘNG

Sau khi được ném theo chiều từ dưới lên, độ cao h (m) của một quả bóng theo thời gian t (giây) được xác định bằng công thức h = 2 + 9t – 5t². Thời gian từ lúc ném đến khi bóng chạm đất là bao lâu?

Giải rút gọn:

Bóng chạm đất nên h = 0 hay 2 + 9t – 5t² = 0 5t² – 9t – 2= 0

=> a = 5; b = –9; c = –2

=> = (–9)² – 4.5.(–2) = 121

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

(loại vì t > 0); (thỏa mãn).

Vậy thời gian từ lúc ném đến khi bóng chạm đất là 2 giây.

1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Hoạt động 1 (trang 11): Một tấm thảm hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 m. biết diện tích tấm thảm bằng 24 m². Gọi x (m) là chiều rộng tấm thảm (x > 0). Hãy viết phương trình với ẩn x biểu thị mối quan hệ giữa chiều dài, chiều rộng và diện tích của tấm thảm.

Giải rút gọn:

- Chiều dài tấm thảm là: x + 2 (m)

- Diện tích tấm thảm là: S = x(x + 2) x² + 2x = 24.

Thực hành 1 (trang 11): Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc hai một ẩn đó.

a) –7x² = 0;                                 b) –12x² + 7x – = 0; 

c) x³ + 5x – 6 = 0;                      d) x² – (m + 2)x + 7 = 0 (m là số đã cho).

Giải rút gọn:

Phương trình a, b, c là phương trình bậc hai một ẩn

a) a = –7; b = 0; c = 0.

b) a = –12; b = 7; c = –.

d) a = 1; b = – (m + 2); c = 7.

2. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI DẠNG ĐẶC BIỆT

Hoạt động 2 (trang 12): 

a) Bằng cách đưa về phương trình tích, hãy giải các phương trình sau:

                     i) 3x² – 12x = 0;                         ii) x² – 16 = 0.

b) Để đưa các phương trình bậc hai dạng đặc biệt trên về phương trình tích ta đã dùng các phép biến đổi nào?

Giải rút gọn:

a) 

i) 3x² – 12x = 0

3x(x – 4) = 0

x = 0 hoặc x = 4

Vậy x = 0; x = 4.

ii) x² – 16 = 0

x² = 16

x = –4 hoặc x = 4

Vậy x = 4; x = –4.

b) Dùng các phép biến đổi đặt nhân tử chung và sử dụng hằng đẳng thức.

Thực hành 2 (trang 12): 

a) 3x² – 27 = 0;                                     b) x² – 10x + 25 = 16.

Giải rút gọn:

a) 3x² – 27 = 0

x² = 9

x = –3 hoặc x = 3

Vậy x = –3; x = 3.

b) x² – 10x + 25 = 16.

(x – 5)² = 16

x – 5 = 4 hoặc x – 5 = –4 

x = 9 hoặc x = 1

Vậy x = 9; x = 1.

3. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Hoạt động 3 (trang 13): Cho phương trình bậc hai x² – 4x + 3 = 0.

a) Thay mỗi dấu ? bằng số thích hợp để viết lại phương trình đã cho thành:

x² – 4x + 4 = ? hay (x – 2)² = ?.                      (*)

b) Giải phương trình (*), từ đó tìm nghiệm phương trình đã cho.

Giải rút gọn:

a) x² – 4x + 4 = 1 hay (x – 2)² = 1.

b) (x – 2)² = 1

x – 2 = 1 hoặc x – 2 = –1 

x = 3 hoặc x = 1

Vậy x = 3; x = 1.

Thực hành 3 (trang 14): Giải các phương trình:

a) 7x² – 3x + 2 = 0;          b) 3x² - 2x + 1 = 0;                c) –2x² + 5x + 2 = 0.

Giải rút gọn:

a) 7x² – 3x + 2 = 0

a = 7; b = – 3; c = 2

= (–3)² – 4.7.(2) = – 47 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) 3x² – 2x + 1 = 0

a = 3; b = –2; c = 1

= (–2)² – 4.3.1 = 0

Vậy

c) –2x² + 5x + 2 = 0

a = –2; b = 5; c = 2

= 5² – 4.2.(–2) = 41 > 0

Vậy ;

Thực hành 4 (trang 14): Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau:

a) 5x² – 12x + 4 = 0;                             b) 5x² - 2x + 1 = 0.                     

Giải rút gọn:

a) 5x² – 12x + 4 = 0

a = 5; b’ = 6; c = 4

= (6)² – 5.4 = 16 > 0

Vậy ;

b) 5x² – 2x + 1 = 0

a = 5; b’ = –; c = 1

= (–)² – 5.1 = 0

Vậy

Vận dụng trang 14 sgk toán 9 tập 2 ctst

Trả lời câu hỏi khởi động (trang 11).

Giải rút gọn:

Bóng chạm đất nên h = 0 hay 2 + 9t – 5t² = 0 5t² – 9t – 2= 0

=> a = 5; b = –9; c = –2

=> = (–9)² – 4.5.(–2) = 121

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

(loại vì t > 0); (thỏa mãn).

Vậy thời gian từ lúc ném đến khi bóng chạm đất là 2 giây.

4. TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Thực hành 5 (trang 16): Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau bằng máy tính cầm tay:

a) 3x² – 8x + 4 = 0;          b) 5x² – 2x + 12 = 0;             c) 2x² – 8x + 8 = 0.

Giải rút gọn:

a) x₁ = 2; x₂ =                b) Phương trình vô nghiệm                  c) x = 2

5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Hoạt động 4 (trang 16): Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 100m, diện tích 576 m².

Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh đất (0 < x < 50).

Hãy lập phương trình biểu thị mối liên hệ giữa chiều rộng, chiều dài và diện tích mảnh đất.

Giải rút gọn:

Chiều dài của mảnh đất: 50 – x (m).

Diện tích mảnh đất: x(50 – x) = 576.

Thực hành 6 (trang 17): Một sân khấu ngoài trời có dạng hình chữ nhật, chiều dài hơn chiều rộng 2 m, độ dài đường chéo là 10 m. Tính diện tích sân khấu đó.

Giải rút gọn:

- Gọi chiều rộng sân khấu là x (m, x > 0)

=> Chiều dài sân khấu là x + 2 (m)

- Đường chéo sân khấu là 10m nên: 

x² + (x + 2)² = 10²

x² + 2x – 48 = 0

x = 6 (thỏa mãn) hoặc x = –8 (loại vì x > 0)

Vậy diện tích sân khấu là 6.(6 + 2) = 48 m².

6. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Bài 1 (trang 17): Giải các phương trình:

a) 5x² + 7x = 0.                b) 5x² – 15 = 0.

Giải rút gọn:

a) 5x² + 7x = 0

x(5x + 7) = 0

x = 0 hoặc x =

Vậy x = 0; x = .

b) 5x² – 15 = 0.

x² – 3 = 0

x = hoặc x =

Vậy x = ; x = .

Bài 2 (trang 10): Dùng công thức nghiệm để giải các phương trình sau và kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay.

a) x² – x – 20 = 0;                       b) 6x² – 11x – 35 = 0;

c) 16y² + 24y + 9 = 0;                d) 3x² + 5x + 3 = 0;

e) x² – 2x – 6 = 0;                  g) x² – (2 + )x + 2  = 0.

Giải rút gọn:

a) x² – x – 20 = 0

a = 1; b = –1; c = –20

= (–1)² – 4.1.(–20) = 81 > 0

Vậy ; .

b) 6x² – 11x – 35 = 0

a = 6; b = –11; c = –35

= (–11)² – 4.6.(–35) = 961 > 0

Vậy ; .

c) 16y² + 24y + 9 = 0

a = 16; b’ = 12; c = 9

= 12² – 16.9 = 0

Vậy .

d) 3x² + 5x + 3 = 0

a = 3; b = 5; c = 3

= 5² – 4.3.3 = –9 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

e) x² – 2x – 6 = 0

a = 1; b’ = –; c = –6

= (–)² – 1.(–6) = 9 > 0

Vậy ; .

g) x² – (2 + )x + 2  = 0

a = 1; b = –(2 + ); c = 2

= (2 + )² – 4.1. 2 = (2 – )² > 0

Vậy ; .

Bài 3 (trang 17): Giải các phương trình:

a) x(x + 8) = 20;                                   b) x(3x – 4) = 2x² + 5;

c) (x – 5)² + 7x = 65;                            d) (2x + 3)(2x – 3) = 5(2x + 3).

Giải rút gọn:

a) x(x + 8) = 20

x² + 8x – 20 = 0

x(x + 10) – 2(x + 10) = 0

(x + 10)(x – 2) = 0

x = –10 hoặc x = 2

Vậy x = –10; x = 2.

b) x(3x – 4) = 2x² + 5

x² – 4x – 5 = 0

x(x – 5) + (x – 5) = 0

(x + 1)( x – 5) = 0

x = –1 hoặc x = 5

Vậy x = –1; x = 5.

c) (x – 5)² + 7x = 65

x² – 3x – 40 = 0

x(x – 8) + 5(x – 8) = 0

(x + 5)( x – 8) = 0

x = –5 hoặc x = 8

Vậy x = –5; x = 8.

d) (2x + 3)(2x – 3) = 5(2x + 3)

(2x + 3)(2x – 3) – 5(2x + 3) = 0

(2x + 3)(2x – 8) = 0

x = hoặc x = 4

Vậy x = ; x = 4.

Bài 4 (trang 17): Quãng đường từ thành phố A đến thành phố B dài 150 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Biết tốc độ ô tô thứ nhất lớn hơn tốc độ ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 30 phút. Tính tốc độ của mỗi xe.

Giải rút gọn:

Đổi 30 phút = 0,5 giờ

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x (km/h; x > 10)

=> Vận tốc của xe thứ hai là: x – 10 (km/h)

Thời gian xe thứ nhất đi là: (giờ)

Thời gian xe thứ hai đi là: (giờ)

Vì xe thứ nhất đến trước xe thứ hai 30 phút nên:

x² – 10x – 3000 = 0

x(x – 60) + 50(x – 60) = 0

(x + 50)( x – 60) = 0

x = –50 (loại) hoặc x = 60 (thỏa mãn)

Vận tốc xe thứ nhất là 60 km/h.

Vận tốc xe thứ hai là 60 – 10 = 50 km/h.

Bài 5 (trang 17):Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Người ta để một lối đi xung quanh vườn rộng 2 m. Phần đất còn lại dùng để trồng rau có diện tích 4 256 m² (Hình 1). Tính chiều dài và chiều rộng khu vườn đó. 

Gọi chiều dài khu vườn là: x (m) (70 ≤ x < 136)

=> Chiều rộng khu vườn là: 140 – x (m)

Chiều dài phần trồng rau là: x – 2 – 2 = x – 4 (m)

Chiều rộng phần trồng rau là: 140 – x – 2 – 2 = 136 – x (m)

Phần đất trồng rau có điện tích 4256 m² nên:

(x – 4)(136 – x) = 4256

x² – 140x – 4800 = 0

x(x – 60) – 80(x – 60) = 0

(x – 60)( x – 80) = 0

x = 60 (loại) hoặc x = 80 (thỏa mãn)

Vậy chiều dài khu vườn là: 80 m.

Vậy chiều rộng khu vườn là: 140 - 60 =80 m.

Bài 6 (trang 17): Nếu đổ thêm 250g nước vào một dung dịch chứa 50g muối thì nồng độ dung dịch sẽ giảm 10%. Tính nồng độ dung dịch lúc ban đầu.

Giải rút gọn:

Gọi x (g) là khối lượng nước lúc đầu có trong dung dịch (x > 0)

Khối lượng dung dịch lúc ban đầu là x + 50 (g)

Khối lượng dung dịch lúc sau là x + 50 + 250 = x + 300 (g)

Nồng độ dung dịch lúc đầu là:

Nồng độ dung dịch lúc sau là:

=>

x² + 350x – 110000 = 0

x(x + 550) – 200(x + 550) = 0

(x + 550)( x – 200) = 0

x = –550 (loại) hoặc x = 200 (thỏa mãn)

Vậy nồng độ dung dịch ban đầu là: = 0,2 = 20%.

Bài 7 (trang 17): Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng. Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở hết số hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu. hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau.

Giải rút gọn:

Gọi số xe được điều chở hàng là x (x N*; xe)

Số xe chở hàng thực tế là: x – 2 (xe)

Khối lượng hàng mỗi xe phải chở theo dự định là: (tấn)

Khối lượng hàng mỗi xe chở trong thực tế là: (tấn)

x² – 2x – 360 = 0

x(x – 20) + 18(x – 20) = 0

(x + 18)( x – 20) = 0

x = –18 (loại) hoặc x = 20 (thỏa mãn)

Vậy số xe được điều chở hàng là: 20 xe.