BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Bài 1: 

a. Cho hai ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn...

Giải rút gọn:

a. +) 3x² – 2x + 9 > 0                                     +) –x² + x – 4 0

b. +) 3x – 9 < 0                                              +) -5x + y 7

II. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Bài 1: Giải các bất phương trình bậc hai sau...

Giải rút gọn:

a. 3x² – 2x + 4 0

= (– 2)² – 4 . 3 . 4 = -44 < 0 và a = 3 > 0 => 3x² – 2x + 4 > 0 với x .

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b. –x² + 6x – 9 0

= 6² – 4 . (– 1) . (– 9) = 0 và a = -1 < 0 => –x² + 6x – 9 < 0 với x \{3}. 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {3}.

Bài 2: Giải mỗi bất phương trình bậc hai sau bằng cách sử dụng đồ thị...

Giải rút gọn:

a. Vẽ đồ thị hàm số y = x² + 2x + 2.

Ta thấy x² + 2x + 2 > 0 biểu diễn phần parabol x² + 2x + 2 = 0 nằm phía trên trục hoành, tương ứng với x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là

b. Vẽ đồ thị y = – 3x² + 2x – 1.

Ta thấy -3x² + 2x – 1 > 0 biểu diễn phần parabol nằm phía trên trục hoành nhưng đồ thị -3x² + 2x – 1 nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành.

Vậy bất phương trình trên vô nghiệm. 

III. ỨNG DỤNG CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Bài 1: Tổng chi phí T...

Giải rút gọn:

Tổng doanh thu là 170Q nghìn đồng. (Q ∈ N^∗)

Tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là T = Q² + 30Q + 3 300 (nghìn đồng).

Để có lãi thì doanh thu phải lớn hơn hoặc bằng chi phí sản xuất, do đó 170Q ≥ T

Hay 170Q – (Q² + 30Q + 3300) = -Q² + 140Q – 3300 0

Tam thức có 2 nghiệm phân biệt x₁ = 30, x₂ = 110 và a = -1 < 0.

Nghiệm của bất phương trình -Q² + 140Q – 3300 0 là 30

Vậy để có lãi thì số sản phẩm được sản xuất trong khoảng 30 đến 100.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Trong các bất phương trình sau...

Giải rút gọn:

Trong các bất phương trình sau, “b. y² - (y + 1) 0” là bất phương trình bậc hai một ẩn vì bậc của bất phương trình này là bậc 2 và có đúng 1 ẩn là y. 

Các phương trình còn lại không phỉa là bất phương trình bậc hai một ẩn:

a. -2x + 2 < 0 vì bậc của bất phương trình này là bậc 1. 

c. y² + x² – 2x 0 vì có 2 ẩn là x và y. 

Bài 2: Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai...

Giải rút gọn:

a. 

•  f(x) > 0 có tập nghiệm là (-;1) (4;+)
•  f(x) < 0 có tập nghiệm là (1;4)
•  f(x) 0 có tập nghiệm là (-;1] [4;+)
•  f(x) 0 có tập nghiệm là [1;4]

b. 

• f(x) > 0 có tập nghiệm là \{2}
•  f(x) < 0 có tập nghiệm là
•  f(x) 0 có tập nghiệm là
• f(x) 0 có tập nghiệm là {2}

c. 

• f(x) > 0 có tập nghiệm là
•  f(x) < 0 có tập nghiệm là
•  f(x) 0 có tập nghiệm là
• f(x) 0 có tập nghiệm là

Bài 3: Giải các bất phương trình bậc hai sau...

Giải rút gọn:

a. 2x² – 5x + 3 > 0

Tam thức bậc hai 2x² – 5x + 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁ = 1, x₂ = , a = 2 > 0. 

Ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức 2x² – 5x + 3 mang dấu “+” là x < 1 hoặc x >  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-;1) (;+)

b. –x² -2x + 8 0

Tam thức bậc hai –x² -2x + 8 có hai nghiệm x₁ = -4, x₂ = 2 và a = -1 < 0 

Ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức –x² -2x + 8 mang dấu “-“ là x -4 hoặc x 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-;4] [2;+).

c. 4x² – 12x + 9 < 0 

Tam thức bậc hai 4x² – 12x + 9 có = 0, nghiệm duy nhất x = , a = 4 > 0.

Ta có: 4x² – 12x + 9 > 0 với x \.

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

d. -3x² + 7x – 4 0

Tam thức bậc hai -3x² + 7x – 4 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1, x₂ = , a = -3 < 0 

Tata thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức -3x² + 7x – 4 mang dấu “+” là 1 x .

Vậy tập nghiệm của phương trình là [1;].

Bài 4: Tìm m để phương trình...

Giải rút gọn:

Phương trình 2x² + (m+1)x + m – 8 = 0 có nghiệm 0 

= (m+1)² – 4.2.(m-8) = m² – 6m + 65 = (m-3)² + 56 > 0 m

Vậy phương trình 2x² + (m+1)x + m – 8 = 0 có nghiệm m.

Bài 5: Xét hệ tọa độ Oth trên mặt phẳng...

Giải rút gọn:

a. Gọi hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là h = at² + bt + c (a0)

Quả bóng được đá lên từ điểm A(0 ;0,2) c = 0,2.

Ta có quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và 6 m sau 2 giây có nghĩa là tại t=1 thì h=8,5 và tại t=2 thì h=6.

Ta có hệ phương trình:  

Vậy hàm số biểu thị quỹ đạo chuyển động của bóng là h = -5,4t² + 13,7t + 0,2

b. Để quả bóng không chạm đất thì h > 0

-5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0  -0,01 < t < 2,55

Vậy trong khoảng thời gian từ lúc đá đến thời gian t = 2,55 giây thì quả bóng chưa chạm đất. 

Bài 6: Công ty An Bình thông báo giá tiền...

Giải rút gọn:

a. x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm (x , x0)

Nếu thêm x người thì giá vé là (800 - 10x) nghìn đồng

Tổng doanh thu là (10 + x).(800 – 10x) nghìn đồng.

Vậy doanh thu của công ty tính theo x là: (nghìn đồng).

b. Để công ty không bị lỗ thì : 

(10 + x).(800 – 10x) 700(10 +x )

-10x² + 700x + 8000 7000 + 700x

-x² + 100 0

-10 x 10

Do đó thêm nhiều nhất là 10 người nữa thì công ty không bị lỗ hay số người của nhóm khách du lịch lúc này là 10 + 10 = 20 người.