BÀI 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Chỉ ra một nghiệm của hệ bất phương trình sau...

Giải rút gọn:

Hệ bất phương trình:

Thay x = 1; y = 0 vào 3 bất phương trình của hệ, ta có:

2.1 + 0 = 2 > 0 (Luôn đúng) 

1 − 3. 0 = 1 < 6 (Luôn đúng) 

1 − 0 = 1 ≥ −4 (Luôn đúng) 

Vậy (1; 0) ) là nghiệm của hệ bất phương trình.

II. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau...

Giải rút gọn:

Hệ bất phương trình:

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ 3 đường thẳng:

d₁: 3x – y = – 3. Thay tọa độ O vào ta được: 3.0 – 0 > -3 (Đúng)

d₂: – 2x + 3y = 6. Thay tọa độ O vào ta được: -2.0 + 3.0 < 6 (Đúng)

d₃: 2x + y = – 4. Thay tọa độ O vào ta được: 2.0 + 0 > -4 (Đúng) 

Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình. 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không bị gạch chéo. 

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Kiểm tra xem mỗi cặp số...

Giải rút gọn:

a)  (0; 2), (1; 0)

+ Thay x = 0; y = 2, ta có:

3. 0 + 2. 2 = 4 -6 (Luôn đúng); 0 + 4. 2 = 8 > 4 (Luôn đúng)

(0; 2) là nghiệm chung của hai bất phương trình.

+ Thay x = 1; y = 0, ta có:

3. 1 + 2. 0 = 3 -6 (Luôn đúng); 1 + 4. 0 = 1 > 4 là mệnh đề sai.

(1; 0) không là nghiệm chung của hai bất phương trình.

b) (-1; -3), (0; -3)

+ Thay x = -1; y = -3, ta có:

4. (-1) + (-3) = -7 -3 (Luôn đúng); -3. (-1) + 5. (-3) = -12 -12 (Luôn đúng)

(-1; -3) là nghiệm chung của hai bất phương trình.

+ Thay x = 0; y = -3, ta có:

4. 0 + (-3) = -3 -3 (Luôn đúng); -3. 0 + 5. (-3) = -15 -12 là mệnh đề sai.

(0; -3) không là nghiệm chung của hai bất phương trình.

Bài 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình...

Giải rút gọn:

a)

Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ hai đường thẳng: 

d₁: x + 2y = −4. Thay tọa độ O vào ta được: 0 + 2.0 < -4 (Sai)

d₂: y = x + 5. Thay tọa độ O vào ta được: 0 ≥ 0 + 5 (Sai)

Do tọa độ điểm O (0; 0) không thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ lần lượt là những nửa mặt phẳng không bị gạch không chứa điểm O (0; 0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không bị gạch.

b)

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

d₁: 4x – 2y = 8;

d₂: x = 0 là trục tung;

d₃: y = 0 là trục hoành.

Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không bị.

Bài 3: Miền không bị gạch ở mỗi...

Giải rút gọn:

+ Hình 12a là miền nghiệm của hệ bất phương trình c 

+ Hình 12b là miền nghiệm của hệ bất phương trình a 

Bài 4: Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ...

Giải rút gọn:

Gọi x, y là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất. (x, y ∈ )

Theo giả thiết, x, y thỏa mãn các điều kiện: 0 ≤ x ≤ 200; 0 ≤ y ≤ 240.

Thời gian làm y chiếc kiểu thứ hai là (giờ)

Do thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai ⇒ (giờ)

Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày nên ta có:

≤ 8 ⇔ 2x + y ≤ 480

Tổng số tiền lãi là: T = 24x + 15y

Ta có hệ bất phương trình:  (I) sao cho T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất.

Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác ACDEO với A(0; 240), C(120; 240), D(200; 80), E(200; 0), O(0; 0).

Biểu thức T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ACDEO. Thay lần lượt các điểm vào biểu thức T

• Tại đỉnh A: T = 24. 0 + 15. 240 = 3 600

• Tại đỉnh C: T = 24. 120 + 15. 240 = 6 480

• Tại đỉnh D: T = 24. 200 + 15. 80 = 6 000

• Tại đỉnh E: T = 24. 200 + 15. 0 = 4 800

• Tại đỉnh O: T = 0

T đạt giá trị lớn nhất bằng 6 480 khi x = 120, y = 240 ứng với tọa độ đỉnh C.

Vậy trong một ngày xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi là 6480 nghìn đồng.