BÀI 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Chỉ ra một nghiệm của hệ bất phương trình sau:

Giải nhanh:

 (1; 0) là nghiệm chung của 3 bất phương trình nên (1; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình

II. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau:

Giải nhanh:

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1: Kiểm tra xem mỗi cặp số (x;y) đã cho có là nghiệm của hệ bất phương trình tương ứng không.

Giải nhanh:

a) (0; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình

(1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình

b) (-1; -3) là nghiệm của hệ bất phương trình

(0; -3) không là nghiệm của hệ bất phương trình

Bài tập 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

Giải nhanh:

a)

b) 

Bài tập 3: Miền không bị gạch ở mỗi Hình 12a,12b là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào cho ở dưới đây?

Giải nhanh:

+ Hình 12a là miền nghiệm của hệ bất phương trình c

+ Hình 12b là miền nghiệm của hệ bất phương trình a

Bài tập 4: Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. 

Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.

Giải nhanh:

Gọi x, y lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất. (x, y ∈ )

Theo giả thiết, x, y thỏa mãn các điều kiện: 0 ≤ x ≤ 200; 0 ≤ y ≤ 240.

Thời gian làm y chiếc kiểu thứ hai là (giờ)

Thời gian để làm x chiếc mũ kiểu thứ nhất (giờ)

Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày nên ta có:

≤ 8 ⇔ 2x + y ≤ 480

Tổng số tiền lãi là: T = 24x + 15y

Bài toán đưa về: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình 

sao cho T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác ACDEO với A(0; 240), C(120; 240), D(200; 80), E(200; 0), O(0; 0).

Người ta chứng minh được: Biểu thức T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ACDEO.

Tính giá trị của biểu thức T = 24x + 15y tại các cặp số (x; y) là tọa độ các đỉnh của ngũ giác ACDEO:

• Tại đỉnh A: T = 24. 0 + 15. 240 = 3 600

• Tại đỉnh C: T = 24. 120 + 15. 240 = 6 480

• Tại đỉnh D: T = 24. 200 + 15. 80 = 6 000

• Tại đỉnh E: T = 24. 200 + 15. 0 = 4 800

• Tại đỉnh O: T = 0

Có 0 < 3 600 < 4 800 < 6 000 < 6 480

T đạt giá trị lớn nhất bằng 6 480 khi x = 120, y = 240 ứng với tọa độ đỉnh C.

Vậy để tiền lãi thu được là cao nhất, trong một ngày xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi là 6480 nghìn đồng hay 6 480 000 đồng.