BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, =120⁰. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a. Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B

b. Bán kính đường tròn ngoại tiếp

c. Diện tích của tam giác

d. Độ dài đường cao xuất phát từ A

e. với M là trung điểm của BC

Giải nhanh:

a.

• Áp dụng định lý cosin: 

BC =

• Áp dụng định lý sin:

b.

c. S =

d.   

e.

Do M là trung điểm của BC nên ta có:

Bài tập 2: Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

A = (sin 20⁰ + sin 70⁰)² + (cos 20⁰ + cos 110⁰)²

B = tan 20⁰ + cot 20⁰ + tan 110⁰ + cot 110⁰

Giải nhanh:

A = 2

B = 0

Bài tập 3: Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó.

Bạn Hoài vẽ và đố bạn Đông làm thế nào để có thể biết được số đo góc của góc này khi không có thước đo góc. Bạn Đông làm như sau: (Hình 70)

- Chọn các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy sao cho:

OA = OB = 2 cm

- Đo độ dài đoạn thẳng AB được AB = 3,1 cm. 

Từ các dữ kiện trên bạn Đông tính được cos , từ đó suy ra độ lớn

Em hãy cho biết số đo ở Hình 69 bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Giải nhanh:

cos =

Bài tập 4: Có hai trạm quan sát A và B ven hồ và một trạm quan sát C ở giữa hồ. Để tính khoảng cách từ A và từ B đến C, người ta làm như sau (Hình 71):

- Đo góc BAC được 60°, đo góc ABC được 45°; 

- Đo khoảng cách AB được 1 200 m. 

Khoảng cách từ trạm C đến các trạm A và B bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? 

Giải nhanh:

Ta có: = 75⁰

Áp dụng định lý sin: 

=> AC878,5 (m) và BC 1075,9 (m)

Bài tập 5: Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau).

Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50 m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ bên kia tới vị trí C đã chọn (Hình 72). Hỏi độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Giải nhanh:

Ta có: = 30⁰ 

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: 

Độ rộng của khúc sông là:  AC.sin A = 90,63.sin 35⁰ 52 m

Bài tập 6: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí M,N ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí O bên ngoài ốc đảo sao cho: O không thuộc đường thẳng MN; các khoảng cách OM, ON và là đo được (Hình 73 ). Sau khi đo, ta có OM = 200 m, ON = 500 m, = 135⁰    Khoảng cách giữa hai vị trí M,N là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Giải nhanh:

MN = m

Bài tập 7: Chứng minh:

a) Nếu ABCD là hình bình hành thì với E là điểm bất kì

b) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với M, N là hai điểm bất kì

c) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với M, N là hai điểm bất kì.

Giải nhanh:

a.

Vì (ABCD là hình bình hành)

Với điểm E bất kì ta có:  (đpcm)

b.

Vì I là trung điểm của AB nên với điểm M bất kì ta có:

Do đó với điểm N bất kì, ta có: 

c.

Bài tập 8: Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6,  = 60⁰ (Hình 74).

a. Biểu thị các vectơ theo

b. Tính các tích vô hướng , ,

c. Tính độ dài các đường chéo BD, AC

Giải nhanh:

a.

b.  = 12

= 28

= 52

c. AC =  , BD =

Bài tập 9: Hai lực cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc () = α làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (Hình 75). Lập công thức tính cường độ của hợp lực làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (giả sử chỉ có đúng hai lực làm cho vật di chuyển)

Giải nhanh:

Theo quy tắc hình bình hành:

Áp dụng định lý cosin: 

Vậy cường độ của hợp lực là: