Bài tập 1. Cho tam giác $A B C$ có $A B=3, A C=4, \widehat{B A C}=120^{\circ}$. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a. Độ dài cạnh $B C$ và độ lớn góc $B$

b. Bán kính đường tròn ngoại tiếp

c. Diện tích của tam giác

d. Độ dài đường cao xuất phát từ $A$

e. $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B C}$ với $M$ là trung điểm của $B C$

Hướng dẫn giải:

a.

• Áp dụng định lý cosin:

$BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cosA=37$

$\Rightarrow BC=\sqrt{37}$

• Áp dụng định lý sin:

$\frac{BC}{sin A}=\frac{AC}{sin B}$ $\Rightarrow \widehat{B}=34,7^{\circ}$

b. $\frac{BC}{sin A}=2R \Rightarrow R=\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}$

c. $S=\frac{1}{2}.AB.AC.sinA=3\sqrt{3}$

d. $S=\frac{1}{2}.AH.BC \Rightarrow AH = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$ (H là chân đường cao)

e.  $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=3 \cdot 4 \cdot cos120=-6$

Bài tập 2. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

$A=\left(\sin 20^{\circ}+\sin 70^{\circ}\right)^{2}+\left(\cos 20^{\circ}+\cos 110^{\circ}\right)^{2}$,

$B=\tan 20^{\circ}+\cot 20^{\circ}+\tan 110^{\circ}+\cot 110^{\circ} .$

Hướng dẫn giải:

$A=(\sin 20^{\circ}+\sin 70^{\circ})^{2}+(\cos 20^{\circ}+\cos 110^{\circ})^{2}$

$=(\cos 70^{\circ}+\cos 20^{\circ})^{2}+(\cos 20^{\circ}+\cos 110^{\circ})^{2}$

$=(-\cos 110^{\circ}+\cos 20^{\circ})^{2}+(\cos 20^{\circ}+\cos 110^{\circ})^{2}$

$=2((cos 20^{\circ})^{2}+(cos 110^{\circ})^{2})$

$=2((sin 70^{\circ})^{2}+(-cos 70^{\circ})^{2})$

$=2$

$B=\tan 20^{\circ}+\cot 20^{\circ}+\tan 110^{\circ}+\cot 110^{\circ}$

$=\cot 70^{\circ}+\tan 70^{\circ}-\tan 70^{\circ}-\cot 70^{\circ}$

$=0$