Giải bài 5 Tích của một số với một vectơ

Giải bài 5: Tích của một số với một vectơ - sách cánh diều toán 10 tập 1. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài học.

LT-VD 1: Cho tam giác $A B C$. Hai đường trung tuyến $A M$ và $B N$ cắt nhau tại $G$.

Tìm các số $a, b$ biết:$\overrightarrow{A G}=a \overrightarrow{A M} ; \overrightarrow{G N}=b \overrightarrow{G B}$

Hướng dẫn giải:

  • Ta có: $\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{AM}$ là hai vectơ cùng hướng và $|\overrightarrow{AG}|=\frac{2}{3} |\overrightarrow{AM}|$. Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AM}$. Vậy $a=2$.
  • Ta có: $\overrightarrow{GN}, \overrightarrow{GB}$ là hai vectơ ngược hướng và $|\overrightarrow{GN}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{GB}|$. Suy ra $\overrightarrow{GN}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{GB}$. Vậy $b=-\frac{1}{2}$.

LT-VD 2: Cho ba điểm $A, B, C$. Chứng minh

$3(\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{B C})-2(\overrightarrow{A B}+3 \overrightarrow{B C}) =\overrightarrow{A B}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $3(\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{B C})-2(\overrightarrow{A B}+3 \overrightarrow{B C})$

$= 3\overrightarrow{A B}+6 \overrightarrow{B C}-2\overrightarrow{A B}-6 \overrightarrow{B C}$

$=\overrightarrow{A B}$ (đpcm).

LT-VD 3: Cho tam giác $A B C$ có $G$ là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=3 \overrightarrow{A G}$

Hướng dẫn giải:

Giải bài 5 Tích của một số với một vectơ

  • Cách 1:

Ta có:

$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}$

$\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{CM}= \overrightarrow{AM}$

Cộng vế với vế: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AM}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=2 \cdot \frac{2}{3}\overrightarrow{AG}$ (chứng minh ở Luyện tập 1)

$\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=3\overrightarrow{AG}$ (đpcm).

  • Cách 2: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$

$=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}$

$=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{AG}$ (đpcm).

LT-VD 4: Ở Hình 61, tìm $k$ trong mối trường hợp sau:

a. $\overrightarrow{A C}=k \overrightarrow{A D}$

b. $\overrightarrow{B D}=k \overrightarrow{D C}$.

Giải bài 5 Tích của một số với một vectơ

Hướng dẫn giải:

a. Từ hình vẽ, $AC=\frac{3}{4}AD$

$\Rightarrow\overrightarrow{A C}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}$  (hai vectơ cùng hướng)

$\Rightarrow k=\frac{3}{4}$

b. Từ hình vẽ, $BD=3CD$

$\Rightarrow\overrightarrow{BD}=-3 \overrightarrow{DC}$ (hai vectơ ngược hướng)

$\Rightarrow k=-3$

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Bài tập 1. Cho hình thang $M N P Q, M N / / P Q, M N=2 P Q$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{M N}=2 \overrightarrow{P Q}$.

B. $\overrightarrow{M Q}=2 \overrightarrow{N P}$.

C. $\overrightarrow{M N}=-2 \overrightarrow{P Q}$.

D. $\overrightarrow{M Q}=-2 \overrightarrow{N P}$.

Bài tập 2. Cho đoạn thẳng $A B=6 \mathrm{~cm}$.

a. Xác định điểm $C$ thoả mãn $\overrightarrow{A C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$.

b. Xác định điểm $D$ thoả mãn $\overrightarrow{A D}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$.

Bài tập 3. Cho tam giác $A B C$ có $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$. Chứng minh:

a. $\overrightarrow{A P}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A N}$;

b. $\overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{M P}=\overrightarrow{B A}$.

Bài tập 4. Cho tam giác $A B C$. Các điểm $D, E$ thuộc cạnh $B C$ thoả mãn $B D=D E=E C$ (Hình 62). Giả sử $\overrightarrow{A B}=\vec{a}$, $\overrightarrow{A C}=\vec{b}$. Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{B E}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E}$ theo $\vec{a}, \vec{b}$.

Giải bài 5 Tích của một số với một vectơ

Bài tập 5. Cho tứ giác $A B C D$ có $M, N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $A B$ và $C D$. Gọi $G$ là trung điểm của đoạn thẳng $M N, E$ là trọng tâm tam giác $B C D$. Chứng minh:

a. $\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{E C}+\overrightarrow{E D}=4 \overrightarrow{E G}$;

b. $\overrightarrow{E A}=4 \overrightarrow{E G}$;

c. Điểm $G$ thuộc đoạn thẳng $A E$ và $\overrightarrow{A G}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A E}$.

Bài tập 6. Cho hình bình hành $A B C D$. Đặt $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A D}=\vec{b}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{A G}, \overrightarrow{C G}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$.

Bài tập 7. Cho tam giác $A B C$. Các điểm $D, E, H$ thoả mãn

$\overrightarrow{D B}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A H}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}.$

a. Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{D H}, \overrightarrow{H E}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.

b. Chứng minh $D, E, H$ thẳng hàng.

Nội dung quan tâm khác

Thêm kiến thức môn học

Từ khóa tìm kiếm: giải sgk toán 10 cánh diều, giải cánh diều toán 10 tập 1, giải toán 10 tập 1 bài 5, giải bài tích của một số với một vectơ

Bình luận

Giải bài tập những môn khác