Giải bài 6 Tích vô hướng của hai vectơ

Giải bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - sách cánh diều toán 10 tập 1. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài học.

LT-VD 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $\widehat{B}=30^{\circ}$, $A B=3 \mathrm{~cm}$. Tính $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C} ; \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $AC=tan30^{\circ} \cdot AB = \sqrt{3}$

và $BC=\frac{AB}{cos30^{\circ}} = 2\sqrt{3}$

  • $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot cos(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})=3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot cos30^{\circ}=9$
  • $\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}=|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot cos(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB})=\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot cos60^{\circ}=3$

LT-VD 2: Cho tam giác $A B C$ đều cạnh $a, A H$ là đường cao. Tính:

a. $\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{B A}$;

b. $\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}$.

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: $(\overrightarrow{C B}, \overrightarrow{B A})=(\overrightarrow{C B}, \overrightarrow{CA})=60^{\circ}$

$\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{B A}=|\overrightarrow{C B}| \cdot |\overrightarrow{B A}| \cdot cos(\overrightarrow{C B}, \overrightarrow{B A})=a \cdot a \cdot cos60^{\circ}=\frac{a^2}{2}$

b. $\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}=|\overrightarrow{A H}| \cdot |\overrightarrow{B C}| \cdot cos(\overrightarrow{A H}, \overrightarrow{B C})=|\overrightarrow{A H}| \cdot |\overrightarrow{B C}| \cdot cos90^{\circ}=0$

LT-VD 3: Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}$, ta có:

$(\vec{a}+\vec{b})^{2}=\vec{a}^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}$

$(\vec{a}-\vec{b})^{2}=\vec{a}^{2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}$

$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}^{2}-\vec{b}^{2}$

Hướng dẫn giải:

$(\vec{a}+\vec{b})^{2}=(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})=\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{a} +\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{b} =\vec{a}^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}$

$(\vec{a}-\vec{b})^{2}=(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b})=\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{a} -\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{b} =\vec{a}^{2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}$

$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{a} +\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{b} \cdot \vec{b} =\vec{a}^{2}-\vec{b}^{2}$

LT-VD 4: Sử dụng tích vô hướng, chứng minh định lí Pythagore: Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{B C}^{2}=(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})^{2}=\overrightarrow{A C}^{2}+\overrightarrow{A B}^{2}-2 \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}$

Suy ra $B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cdot \cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})$.

$=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cdot \cos A=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cdot \cos90^{\circ}$

$=A B^{2}+A C^{2}$ (Đpcm)

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Bài tập 1. Nếu hai điểm $M, N$ thoả mãn $\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{N M}=-4$ thì độ dài đoạn thẳng $M N$ bằng bao nhiêu?

A. $M N=4$.

B. $M N=2$.

C. $M N=16$.

D. $M N=256$.

Bài tập 2. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b})<90^{\circ}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b}<0$.

B. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b})>90^{\circ}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b}>0$.

C. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b})<90^{\circ}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b}>0$.

D. Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) \neq 90^{\circ}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b}<0$.

Bài tập 3. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a. $|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=4,(\vec{a}, \vec{b})=30^{\circ}$;

b. $|\vec{a}|=5,|\vec{b}|=6,(\vec{a}, \vec{b})=120^{\circ}$;

c. $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3, \vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng;

d. $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3, \vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

Bài tập 4. Cho hình vuông $A B C D$ cạnh $a$. Tính các tích vô hướng sau:

a. $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$;

b. $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}$.

Bài tập 5. Cho tam giác $A B C$. Chứng minh:

$A B^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C A}=0$

Bài tập 6. Cho tam giác nhọn $A B C$, kẻ đường cao $A H$. Chứng minh rằng:

a. $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A H}=\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A H}$;

b. $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{H B} \cdot \overrightarrow{B C}$.

Bài tập 7. Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ $700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ $40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ (Hình 69). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay theo đơn vị km/h (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải bài 6 Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập 8. Cho tam giác $A B C$ có $A B=2, A C=3, \widehat{B A C}=60^{\circ}$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C$. Điểm $D$ thoả mãn $\overrightarrow{A D}=\frac{7}{12} \overrightarrow{A C}$.

a. Tính $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$.

b. Biểu diễn $\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{B D}$ theo $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.

c. Chứng minh $A M \perp B D$.

Nội dung quan tâm khác

Thêm kiến thức môn học

Từ khóa tìm kiếm: giải sgk toán 10 cánh diều, giải cánh diều toán 10 tập 1, giải toán 10 tập 1 bài 6, giải bài tích vô hướng của hai vectơ

Bình luận

Giải bài tập những môn khác