Giải bài 6 Tích vô hướng của hai vectơ
Giải bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - sách cánh diều toán 10 tập 1. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài học.
LT-VD 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $\widehat{B}=30^{\circ}$, $A B=3 \mathrm{~cm}$. Tính $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C} ; \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$
Hướng dẫn giải:
Ta có: $AC=tan30^{\circ} \cdot AB = \sqrt{3}$
và $BC=\frac{AB}{cos30^{\circ}} = 2\sqrt{3}$
- $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot cos(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})=3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot cos30^{\circ}=9$
- $\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}=|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot cos(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB})=\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot cos60^{\circ}=3$
LT-VD 2: Cho tam giác $A B C$ đều cạnh $a, A H$ là đường cao. Tính:
a. $\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{B A}$;
b. $\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}$.
Hướng dẫn giải:
a. Ta có: $(\overrightarrow{C B}, \overrightarrow{B A})=(\overrightarrow{C B}, \overrightarrow{CA})=60^{\circ}$
$\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{B A}=|\overrightarrow{C B}| \cdot |\overrightarrow{B A}| \cdot cos(\overrightarrow{C B}, \overrightarrow{B A})=a \cdot a \cdot cos60^{\circ}=\frac{a^2}{2}$
b. $\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}=|\overrightarrow{A H}| \cdot |\overrightarrow{B C}| \cdot cos(\overrightarrow{A H}, \overrightarrow{B C})=|\overrightarrow{A H}| \cdot |\overrightarrow{B C}| \cdot cos90^{\circ}=0$
LT-VD 3: Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}$, ta có:
$(\vec{a}+\vec{b})^{2}=\vec{a}^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}$
$(\vec{a}-\vec{b})^{2}=\vec{a}^{2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}$
$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}^{2}-\vec{b}^{2}$
Hướng dẫn giải:
$(\vec{a}+\vec{b})^{2}=(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})=\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{a} +\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{b} =\vec{a}^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}$
$(\vec{a}-\vec{b})^{2}=(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b})=\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{a} -\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{b} =\vec{a}^{2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}$
$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a} \cdot \vec{a}-\vec{b} \cdot \vec{a} +\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{b} \cdot \vec{b} =\vec{a}^{2}-\vec{b}^{2}$
LT-VD 4: Sử dụng tích vô hướng, chứng minh định lí Pythagore: Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}$.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $\overrightarrow{B C}^{2}=(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})^{2}=\overrightarrow{A C}^{2}+\overrightarrow{A B}^{2}-2 \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}$
Suy ra $B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cdot \cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})$.
$=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cdot \cos A=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cdot \cos90^{\circ}$
$=A B^{2}+A C^{2}$ (Đpcm)
Bình luận