I. ĐỊNH NGHĨA

HĐ1: 

Do B là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{BC}$. Khi đó ta có: $\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AB}.$

HĐ2: 

Vectơ $2\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ và $\left | 2\overrightarrow{AB} \right |= 2\left | \overrightarrow{AB} \right |$

2AB=2AB

Kết luận:

Cho số thực $k \neq 0$ và vectơ $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$. Tích của số k với vectơ $\overrightarrow{a}$ là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$, được xác định như sau:

+ Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu $k > 0$, ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu $k < 0$

+ Có độ dài bằng $\left | k \right |. \left | \overrightarrow{a} \right |$

Quy ước:

$0. \overrightarrow{a}= \overrightarrow{0}, k\overrightarrow{0}= \overrightarrow{0}$

Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân số với vectơ.

Ví dụ 1 (SGK – tr89)

Luyện tập 1: 

+ Ta có: $\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{AM}$ là hai vectơ cùng hướng và $\left | \overrightarrow{AG} \right |= \frac{2}{3}\left | \overrightarrow{AM} \right | \Rightarrow \overrightarrow{AG}= \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.$ Vậy $a = \frac{2}{3}$.

+ Ta có: $\overrightarrow{GN}, \overrightarrow{GB}$ là hai vectơ ngược hướng và $\left | \overrightarrow{GN} \right |= \frac{1}{2}\left | \overrightarrow{GB} \right | \Rightarrow \overrightarrow{GN}= -\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}.$ Vậy $b = \frac{-1}{2}.$

Ví dụ 2 (SGK -tr89)

II. TÍNH CHẤT

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ và hai số thực $h, k,$ ta có:

• $k(\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})= k\overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{b}; k(\overrightarrow{a}- \overrightarrow{b})= k\overrightarrow{a}- k\overrightarrow{b}$;
• $(h + k)\overrightarrow{a}= h\overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{a}$
• $h(k\overrightarrow{a})= (hk)\overrightarrow{a}$;
• $1\overrightarrow{a}= \overrightarrow{a}; (-1)\overrightarrow{a}= \overrightarrow{-a}$       

Nhận xét: $k\overrightarrow{0}= \overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $k = 0$ hoặc $\overrightarrow{a}= \overrightarrow{0}.$

Ví dụ 3 (SGK – tr89)

Luyện tập 2:

$3(\overrightarrow{AB}+ 2\overrightarrow{BC})- 2(\overrightarrow{AB}+ 3\overrightarrow{BC})= 3\overrightarrow{AB}- 2\overrightarrow{AB}+ 6\overrightarrow{BC}- 6\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AB} $(đpcm)

III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1. Trung điểm của đoạn thẳng

HĐ3:

I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên $\overrightarrow{IA}+ \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}= (\overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IA})+ (\overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IB})= 2\overrightarrow{MI}$

Kết luận: 

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}= 2\overrightarrow{MI}$ với điểm M bất kì

2. Trọng tâm của tam giác

HĐ4:

Do G là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC}= \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}$

= $(\overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{GA})+ (\overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{GB})+ (\overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{GC})$

= $3\overrightarrow{MG}+ (\overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC})= 3\overrightarrow{MG}$

Kết luận: 

Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Rightarrow \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}= 3\overrightarrow{MG}$ với điểm M tuỳ ý.

Ví dụ 4 (SGK – tr90) 

Luyện tập 3:

Ta có: $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AG}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{AG}+ \overrightarrow{GC}$

= $2\overrightarrow{AG}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC}$

= $3\overrightarrow{AG}+ \overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GC}= 3 \overrightarrow{AG}$ đpcm. 

3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

HĐ5: 

Ta có $\overrightarrow{a}= k\overrightarrow{b}$ với k là số thực khác 0, hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$.

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.  

Kết luận:

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b} (\overrightarrow{b}≠0)$ cùng phương là có một số thực k để $\overrightarrow{a}= k\overrightarrow{b}.$

HĐ6:

a. Nếu $A, B, C$ thẳng hàng thì đường thẳng $AB$ trùng đường thẳng $AC$, do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

b. Nếu hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương thì đường thẳng AB trùng đường thẳng AC, do đó ba điểm $A, B, C$ có thẳng hàng.

Kết luận:

Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng là có số thực k để $\overrightarrow{AB}= k\overrightarrow{AC}.$

Ví dụ 5 (SGK – tr91)

Luyện tập 4:

a. Từ hình vẽ, $AC = \frac{3}{4}AD \Rightarrow \overrightarrow{AC}= \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$ (Hai vectơ cùng hướng)

$⇒ k= \frac{3}{4}$

b. Từ hình vẽ, $BD = 3CD \Rightarrow \overrightarrow{BD}= -3\overrightarrow{DC}$ (Hai vectơ ngược hướng)

$⇒ k= -3$

Nhận xét: 

Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Với mỗi vectơ $\overrightarrow{c}$ có duy nhất cặp số $(x ; y)$ thoả mãn $\overrightarrow{c}= x\overrightarrow{a}+ y\overrightarrow{b}.$