I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

HĐ1:

$3x^2 – 4x – 8 < 0$

Ta thấy vế trái của bất phương trình đã cho là một tam thức bậc hai có hệ số $a = 3 > 0, b = -4, c = -8$. 

Kết luận: 

+ Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng sau: $ax^2 + bx + c < 0; ax^2 + bx + c \leq 0; ax^2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c \geq 0$, trong đó $a, b, c$ là các số thực đã cho, $a \neq 0$. 

+ Đối với bất phương trình bậc hai có dạng $ax^2 + bx + c < 0$, mỗi số $x_o \in R$ sao cho $ax^2 + bx + c < 0$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình đó. 

Tập hợp các nghiệm $x_o$ như thế còn được gọi là tập nghiệm của bất phương trình bậc hai đã cho. 

Nghiệm và tập nghiệm của các dạng bất phương trình bậc hai ẩn x còn lại được định nghĩa tương tự. 

Ví dụ 1 (SGK – tr49)

Chú ý: 

Giải bất phương trình bậc hai ẩn x là đi tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. 

Luyện tập 1:  

$x^2 – 2x + 4 > 0$ và $–x^2 + 6x – 5 \leq 0$

$4x – 9 > 0$ và $-5x + y \geq 8$

II. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai 

HĐ2: 

a. Xét tam thức bậc hai $f(x) = x^2 – x – 2$, có $∆ = (-1)^2 -4.1.(-2) = 9 > 0$. 

=> f(x) có hai nghiệm phân biệt là $x_1 = -2, x_2 = 1$. 

Lại có: $a = 1 > 0$ nên ta có bảng xét dấu: 

b. Từ bảng xét dấu ở trên ta thấy $f(x) > 0 x > -1$ hoặc $x < -2$. 

Nhận xét: 

Để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng $f(x) > 0 (f(x) = ax^2 + bx + c)$, ta chuyển việc giải bất phương trình đó về việc tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) mang dấu “+”. Cụ thể, ta làm như sau: 

Bước 1: Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có). 

Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) mang dấu “+”

Chú ý: 

Các bất phương trình bậc hai có dạng $f(x) < 0, f(x) \leq 0, f(x) \geq 0$ được giải bằng cách tương tự. 

Ví dụ 2 (SGK – tr50) 

Luyện tập 2:

a. $3x^2 – 2x + 4 \leq 0$ 

Xét tam thức bậc hai $3x^2 – 2x + 4$ có $∆ = -44 < 0$ và hệ số $a = 3 > 0$ nên $3x^2 – 2x + 4 > 0$ với x ∈ R.

Vậy bất phương trình $3x2 – 2x + 4 \leq 0$ vô nghiệm. 

b. $–x^2 + 6x – 9 \geq 0$

Xét tam thức bậc hai $–x^2 + 6x – 9$  có $∆ = 0$ và hệ số $a = -1 < 0$ nên $–x^2 + 6x – 9 < 0$ với x ∈ R\{3}. 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $–x^2 + 6x – 9 \geq 0$ là {3}.

2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng đồ thị

HĐ3:

a. Từ đồ thị ta thấy bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm ở phía trên trục hoành. 

b. Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với các giá trị của x thuộc $(-\infty;1) (3;+\infty)$.

Nhận xét: 

+ Giải bất phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c > 0$ là tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol $y = ax^2 + bx + c$ nằm phía trên trục hoành. 

+ Tương tự, giải bất phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c < 0$ là tìm tập hợp những giá trị của x tương ứng với phần parabol $y = ax^2 + bx + c$ nằm phía dưới trục hoành. 

Như vậy, để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng $f(x) > 0 (f(x) = ax^2 + bx + c)$ bằng cách sử dụng đồ thị, ta có thể làm như sau: 

Dựa vào parabol $y = ax^2 + bx + c$, ta tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol đó nằm phía trên trục hoành. Đối với các bất phương trình bậc hai có dạng $f(x) < 0, f(x) \geq 0$, ta cũng làm tương tự. 

Ví dụ 3 (SGK – tr 51) 

Luyện tập 3: 

a. Ta có đồ thị:

Từ đồ thị ta thấy $x^2 + 2x + 2 > 0$ biểu diễn phần parabol $x^2 + 2x + 2 = 0$ nằm phía trên trục hoành, tương ứng với x ∈ R

Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là R

b. Ta có đồ thị: 

Từ đồ thị ta thấy $-3x^2 + 2x – 1 > 0$ biểu diễn phần parabol nằm phía trên trục hoành, những đồ thị $-3x^2 + 2x – 1$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. 

Vậy bất phương trình trên vô nghiệm.

III. ỨNG DỤNG CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Ví dụ 4, 5, 6 (SGK – tr52-53)

Luyện tập 4: 

Theo đầu bài, ta có tổng doanh thu là $170Q$ nghìn đồng. 

Tổng lợi nhuận là $170Q – (Q^2 + 30Q + 3300) = -Q^2 + 140Q – 3300 \geq 0$ 

Để đảm bảo có lãi thì $-Q^2 + 140Q – 3300 > 0$ 

$-Q^2 + 140Q – 3300 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1 = 30, x_2 = 110$ và $a = -1 < 0$. 

Nghiệm của bất phương trình

$-Q^2 + 140Q – 3300 > 0$ là $30 < x < 110$.

Vậy để có lãi thì số sản phẩm được sản xuất phải lớn hơn 30 và nhỏ hơn 100.