BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

1. GÓC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.

a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?

Giải nhanh:

a) Phải quay kim phút một khoảng bằng vòng tròn.

b) Phải quay kim phút một khoảng bằng vòng tròn.

c) Có 2 cách: Quay ngược chiều kim đồng hồ và quay theo chiều quay của kim đồng hồ

Bài 2: Cho góc hình học uOv = 45⁰. Xác định số đo của góc lượng giác (Ou,Ov) trong mỗi trường hợp sau:

Giải nhanh:

a)  

b)  

Bài 3: Cho ba tia Ou, Ov, Ow Với số đo của các góc hình học uOv và vOw lần lượt là 30⁰ và 45⁰

a) Xác định số đo của ba góc lượng giác (Ou, Ov), (Ov,Ow) và (Ou,Ow) được chỉ ra ở Hình 1.5.

b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên k để 

sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov,Ow) = sđ(Ou,Ow) + k360⁰

Giải nhanh:

a) ⁰ 

⁰ 

75⁰  + ⁰ 

b) 

Bài 4: Cho một góc lượng giác (Ox,Ou) có số đo 240⁰ và một góc lượng giác (Ox,Ov) có số đo -270⁰.  Tính số đo của các góc lượng giác (Ou,Ov)

Giải nhanh:

2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN

Bài 1: a) Đổi từ độ sang radian các số đo sau:

b) Đổi từ radian sang độ các số đo sau:

Giải nhanh:

a)  

b)  

Bài 2: Cho đường tròn bán kính R.

a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là bao nhiêu

b) Tính độ dài l của cung tròn có số đo    rad.

Giải nhanh:

a)

b) l =

Bài 3: Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km (H.1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45° ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6 400 km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Giải nhanh:

Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là: 

Đổi:

Trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là:

3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm  của đường tròn với trục . Ta quy ước chiều dương của đường tròn là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

a) Xác định điểm  trên đường tròn sao cho sđ (OA,OM) =

b) Xác định điểm  trên đường tròn sao cho sđ (OA,ON) =

Giải nhanh:

a) Ta có =

b) Ta có: sđ(OA, ON) =

Bài 2: Xác định điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng

Giải nhanh:

Ta có:

Ta có:

Bài 3: Nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác sin⁡ , cos, tan , cot  của góc (0∘≤ ≤180∘) đã học ở lớp 10

Giải nhanh:

Với mỗi góc    (0° ≤    ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Khi đó:

+ sin của góc là tung độ của điểm ,

+ côsin của góc là hoành độ của x₀ của điểm M,

.

Bài 4: Cho góc lượng giác có số đo bằng

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.

Giải nhanh: 

a)  

b)  

Bài 5: Sử dụng máy tính cầm tay để:

a) Tính: ;

b) Đổi sang rađian

c) Đổi rad sang độ

Giải nhanh:

a) .

.

b) 179°23'30" ≈ 3,130975234 (rad).

c)

4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: a) Dựa vào định nghĩa của hãy tính

b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của tan , hãy tính 1+

Giải nhanh:

a) Theo định nghĩa, ta có: 

Do đó,

Mà (theo định lý Pythagore và đường tròn đơn vị có bán kính ).

Vậy .

b) Theo định nghĩa với:

 , ta có:

=

Bài 2: Tính các giá trị lượng giác của góc  , biết = -⅔  và

Giải nhanh:

Vì nên . Mặt khác:

ta có:

Do đó, và  

Bài 3: Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đối với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa và

b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa: tan (− ) và tan ; cot(− ) và cot  

Giải nhanh:

a)

hay

b)

Bài 4: Tính:

a)

b)

Giải nhanh:

a)

b)

Bài 5: Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

B(t) =

Trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào cá thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng               b) 10 giờ 30 phút sáng;          c) 12 giờ trưa              d) 8 giờ tối

Giải nhanh:

a) t = 6, khi đó B(6) = .

b) , khi đó: B(10,5) =

c) , khi đó =

d) , khi đó:

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1.1: Hoàn thành bảng sau:

Giải nhanh:

Bài tập 1.2: Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tính độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a)

b) 1,5

c)

d)

Giải nhanh:

a)  

b)  

c) Ta có :

cm

d) Ta có:

cm

Bài tập 1.3: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a)

b)

c)

d)

Giải nhanh:

a) 

b) 

c) 

d)

Bài tập 1.4: Tính các giá trị lượng giác góc  , biết:

a) và 

b)

c)

d)

Giải nhanh:

a)  

b)  

c)

d)

Bài tập 1.5: Chứng minh các đẳng thức:

a. ⁴ - ⁴ = 2.² -1

b. = tan²  

Giải nhanh:

a. ⁴ - ⁴ = 2.² -1

b. = tan²  

Bài tập 1.6: Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.

a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680 mm.

Giải nhanh:

a) Góc mà bánh quay xe quay được trong 1 giây là:

Góc mà bánh quay xe quay được trong 1 giây là: (rad)

b) Ta có:

Trong 1 phút bánh xe quay được: vòng.

Chu vi của bánh xe đạp là: (mm)

Quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong một phút là