HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS trao đổi theo bàn và thực hiện HĐ1 để nhận biết khái niệm góc lượng giác.

+ GV chỉ định một số HS đứng tại chỗ trả lời câu hỏi của HĐ1.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV đặt câu hỏi dẫn dắt ra Kết luận trong khung kiến thức trọng tâm: “Với phần a và b của HĐ1, khi kim đồng hồ quay 1 góc xác định thì ta nói góc đó là một góc lượng giác. Vậy trong trường hợp tổng quát thì thế nào là góc lượng giác?”

- GV viết lên bảng và minh họa phần Kết luận trong khung kiến thức trọng tâm cho HS quan sát và hiểu rõ.

- GV ncho HS quan sát hình 1.3 và đọc – hiểu phần này.

+ GV hướng dẫn, mô tả từng hình cho HS hiểu được Quy ước về chiều quay của góc lượng giác và số đo của góc lượng giác.

+ GV: Cũng giống với số đo của một góc trong mặt phẳng. Khi ta quay tia quanh một gốc cố định theo 1 vòng tròn theo chiều dương, thì tia đó quét một góc 360º; 2 vòng là 720º; và ngược lại.

- GV đặt câu hỏi cho HS suy luận: “Với những điểm ta vừa học trên, thì mỗi góc lượng giác được xác định bởi những yếu tố nào?”

+ GV mời một số HS phát biểu ý kiến.

+ GV viết phần kết luận lên bảng cho HS quan sát.

+ HS ghi bài vào vở.

- GV nêu phần Chú ý cho HS về sự sai khác nhau về số đo của các góc lượng giác.

- GV hướng dẫn HS thực hiện Ví dụ 1

+ GV cho HS nhắc lại về chiều dương, chiều âm của một góc lượng giác.

+ GV nhấn mạnh lại phần chú ý cho HS về sai số.

+ GV trình bày mẫu lời giải Ví dụ 1 cho HS hiểu dược cách thực hiện một bài toán xác định số đo của góc lượng giác.

- GV tiếp tục hướng dẫn cho HS làm phần Luyện tập 1.

+ Áp dụng quy ước về số đo một góc lượng giác và chiều của một góc lượng giác để làm bài tập này.

+ Đầu tiên xác định chiều, sau đó xác định số đo góc.

+ GV mời 2 HS lên bảng làm bài.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV cho HS tự thảo luận và thực hiện HĐ2 để rút ra được kết luận về hệ thức Chasles.

- GV nêu phần Hệ thức Chasles cho HS

- GV đưa ra câu hỏi cho HS suy nghĩ:

+ Nếu có 3 tia bất kì Ox, Ou, Ov và dựa vào hệ thức Chasles thì ta có thể tính toán được số đo của (Ou, Ov) hay không?

+ HS suy nghĩ.

+ GV chỉ định 1 HS trả lời câu hỏi.

+ GV chốt đáp án và nhấn mạnh phần Nhận xét (SGK – tr.7).

-  GV hướng dẫn, giảng giải các bước làm Ví dụ 2 cho HS hiểu được cách vận dụng hệ thức Chasles.

+ GV (có thể) mời 1 HS đứng tại chỗ cùng mình thực hiện các bước làm Ví dụ 2 cho các HS còn lại quan sát.

+ Các HS còn lại trình bày vào vở.

- GV cho HS thực hiện thảo luận Luyện tập 2 theo tổ trong lớp.

+ Mỗi tổ thảo luận và cử 1 đại diện lên bảng viết câu trả lời.

+ GV nhận xét, rút kinh nghiệm cho HS.

+ GV chốt đáp án cho HS trình bày vào vở.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát, nhận xét quá trình hoạt động của các HS, cho HS nhắc lại khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác.

1. Góc lượng giác

a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác.

HĐ1:

a) Phải quay kim phút một khoảng bằng  vòng tròn.

b) Phải quay kim phút một khoảng bằng  vòng tròn.

c) Có 2 cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12, đó là quay ngược chiều kim đồng hồ và quay theo chiều quay của kim đồng hồ.

Kết luận:

Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, Ov. Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om quay quanh điểm O, theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov).

Quy ước:

- Chiều quy ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

- Số đo của góc lượng giác:

Nếu tia Om quy theo chiều dương đúng một vòng ta nói tia Om quy góc 360º, quy đúng 2 vòng ta nói nó quay góc 720º; quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nó quay góc -180º, quy theo chiều âm 1,5 vòng ta nói nó quay góc -1,5.360º = -540º,…..

- Khi tia Om quy góc  thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo , Số đo lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov dược kí hiệu là sđ(Ou, Ov).

Kết luận:

Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo góc của nó.

Chú ý

Cho hai tia Ou, Ov có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là (Ou, Ov).

Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của 360º.

Ví dụ 1: (SGK – tr.7).

Lời giải: (SGK – tr.7).

Luyện tập 1.

Ta có:

- Góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều dương có số đo là

sđ(Ou, Ov) = 45°.

- Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều âm có số đo là

sđ(Ou, Ov) = – (360° – 45°) = – 315°. 

b) Hệ thức chasles

HĐ2:

a) Quan sát Hình 1.5 ta có:

sđ(Ou, Ov) = 30°;

sđ(Ov, Ow) = 45°;

sđ(Ou, Ow) = – (360° – 30° – 45°)

                    = – 285°.

b)  Ta có: sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = 30° + 45° = 75°.

Lại có: – 285° + 1 . 360° = 75°.

Vậy tồn tại một số nguyên k = 1 để sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360°.

Hệ thức Chasles:

Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:

Sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360º

- Có tính được.

Nhận xét:

Từ hệ thức Chesles, ta suy ra: Với ba tia tùy ý Ox, Ou, Ov ta có:

Sđ(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) – sđ(Ox, Ou) + k360º .

Hệ t thực này đống vai trò quan trọng trong việc tính toán số đo của góc lượng giác.

Ví dụ 2.

Hướng dẫn giải (SGK – tr.8).

Luyện tập 2

Số đo của các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov là:

sđ(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) – sđ(Ox, Ou) + k360°

= – 270° – 240° + k360° = – 510° + k360°

= 210° – 720° + k360° = 210° + (k – 2)360°

= 210° + m360° (m = k – 2, m ∈ ℤ).

Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là 210° + m360° (m ∈ ℤ).

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS nhắc về đơn vị dùng để đo góc, và quy đổi từ độ sang phút.

- GV giới thiệu về Đơn vị rađian và biểu diễn hình học cho HS nắm được kiến thức mới.

- GV dẫn dắt cho HS để hình thành kiến thức về Quan hệ giữa độ và rađian:

+ GV: Hãy nêu công thức tính độ dài đường tròn.

+ GV: Chúng ta đã biết độ dài của một cung bằng R thì cung đó có số đo là 1 rađian. Vậy ta có: .

+ GV: Ta lại có số đo của đường tròn là 360º nên 360º = .

+ Từ đó GV hình thành công thức và viết lên bảng cho HS quan sát và nắm được.

- GV nêu phần Chú ý cho HS cách viết số đo góc theo rađian.

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 3

+ Áp dụng công thức và .

+ GV mời 2 HS lên bảng thực hiện Ví dụ 3.

- GV cho HS tự đọc và làm phần Luyện tập 3, sau đó:

+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện.

+ GV đi kiểm tra ngẫu nhiên một số HS.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV giới thiệu bảng chuyển đổi thông dụng từ độ sang rađian trong phần Chú ý cho HS.

- GV cho HS thwucj hiên HĐ3 để xây dựng được công thức tính độ dài của cung tròn.

+ GV mời 1 HS đứng tại chỗ thực hiện HĐ3, GV viết lên bảng.

+ GV nêu nhận xét và đi vào phần công thức tính độ dài cung tròn.

+ GV viết công thức lên bảng.

- GV dẫn và Ví dụ 4: “Chúng ta đã thực hiện tìm được cung thức tính độ dài cung tròn, các em hãy áp dụng giải bài toán mở đầu trong phần Ví dụ 4”.

+ GV hướng dẫn: Bước đầu phải áp dụng tính được bán kinh quỹ đạo của trạm, sau đó đưa 45º về rad. Và sử dụng công thức tính độ dài cung tròn.

+ GV mời 1 HS lên bảng trình bày đáp án.

+ Gv nhận xét và chốt kiến thức.

- GV cho HS thảo luận nhóm, tương ứng với mỗi nhóm là một tổ trong lớp phần Vận dụng 1.

+ Mỗi nhóm thực hiện thảo luận và cử một đại diện lên trình bày câu trả lời.

+ Những nhóm còn lại quan sát và nêu nhận xét, phần biện lại.

+ Nhóm nào nhanh và chính xác nhất được cộng thêm điểm theo đánh giá của GV.

+ GV nhận xét, rút ra kinh nghiệm làm bài cho HS.

+ GV chốt đáp án, HS làm bài vào vở.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát, nhận xét quá trình hoạt động của các HS, cho HS nhắc lại đơn vị và độ dài cung tròn.

2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn

a) Đơn vị đo góc và cung tròn

- Đơn vị dùng để đo góc là : Độ.

- Góc  góc bẹt.

- Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn:

Đơn vị rađian: Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R và một cung AB trên (O)

Ta nói cung tròn AB có số đo bằng 1 rađian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R. Khi đó ta cũng nói rằng góc AOB có số đo bằng 1 rađian và viết:

.

Quan hệ giữa độ và rađian:

+ Công thức tính độ dài đường tròn .

+ .

+ .

Công thức:

 và

Chú ý:

Khi viết một số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữa rad sau số đo.

Chẳng hạn góc  được hiểu là .

Ví dụ 3: (SGK – tr.9).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.9).

Luyện tập 3

a) Đổi từ độ sang rađian:

b) Đổi từ ra đi an sang độ:

Chú ý:

b) Độ dài cung tròn.

HĐ3:

a) Độ dài cung tròn có số đo bằng 1 rađian là R.

b) Độ dài của một cung tròn có số đo  rad là .

Công thức:

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo  rad thì có độ dài .

Ví dụ 4: (SGK – tr.9).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.9).

Vận dụng 1.

a) Chu vi của bánh xe sau là:

 (cm)

Khi đó, bánh xe sau đi mỗi vòng được quãng đường có độ dài là 184π (cm).

Trong 10 phút, bánh xe sau chuyển động được 80 . 10 = 800 (vòng).

Quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút hay chính là quãng đường đi được khi bánh xe sau lăn 800 vòng là:

800 . 184π = 147 200π (cm)

                = 1,472π (km).

b) Ta có: 10 phút  giờ.

Vận tốc của máy kéo là

 (km/giờ)

c) Chu vi của bánh xe trước là:

 (cm)

Khi bánh xe sau lăn được 800 vòng trong 10 phút thì bánh xe trước lăn được số vòng là:

1 600 (vòng).

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS làm HĐ4 để HS nhận biết được khái niệm về đường tròn lượng giác.

+ GV vẽ hình hoặc trình chiếu hình về đường tròn lượng giác cho HS quan sát.

+ GV yêu cầu HS tách  và .

+ Sau đó GV biểu diễn hình cho HS quan sát.

- GV đi vào phần Kết luận trong khung kiến thức trọng tâm cho HS nắm được thế nào là đường tròn lượng giác.

- GV cho HS tự thực hiện Ví dụ 5, HS làm bài và đối chiếu đáp án với bạn cùng bàn.

+ GV mời 1 HS lên bảng vẽ hình và tính toán.

+ HS có thể tính theo rad hoặc độ để biểu diễn được điểm cần tìm.

- GV cho HS làm phần Luyện tập 4. Sau đó:

+ Gọi ngẫu nhiên một số HS nêu cách thực hiện và đưa ra đán án.

+ GV nhận xét, chốt đáp án và củng cố lại kiến thức về đường tròn lượng giác.

- GV mời HS nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác sin α, cos α, tan α, cot α của góc α (0° ≤ α ≤ 180°) đã học ở lớp 10 để thực hiện HĐ4.

- GV dẫn và phần khung kiến thức trọng tâm:

3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

a) Đường tròn lượng giác

HĐ4:

a) Ta có: sđ(OA, OM) =  =

Điểm M trên đường tròn sao cho sđ(OA, OM) =  được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

b) Ta có: sđ(OA, ON) =

Điểm N trên đường tròn sao cho sđ(OA, ON) =  được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

Kết luận

- Đường tròn lượng giác là đường có tâm tại góc tọa độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn.

- Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo  (độ hoặc rađian) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ(OA, OM) = .

Ví dụ 5: (SGK – tr.10).

Hướng dẫn giải: (SKG – tr.10).

Luyện tập 4

Ta có: , điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng  được xác định trong hình dưới đây:

Ta có: , điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 420° được xác định trong hình dưới đây:

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác

HĐ4:

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Khi đó:

+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, kí hiệu là sin α; sin α = y₀.

+ côsin của góc α là hoành độ của x₀ của điểm M, kí hiệu là cos α; cos α = x­₀.

+ Khi  (hay là ), tang của  là   , kí hiệu là ;

+ Khi  và  (hay ), côtang của  ;à , kí hiệu là

.

Kết luận