Soạn giáo án toán 11 kết nối tri thức Bài 16: Giới hạn của hàm số (2 tiết)

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

Nhiệm vụ 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm.

- GV triển khai HĐ1 cho HS thực hiện thảo luận theo nhóm đôi.

+ GV mời 1 HS đứng tại chỗ trả lời phần a.

+ Với xn=2+1n=2n+1n thay vào hàm số f(x) từ đó tính được giới hạn của hàm số fxn.

+ GV hướng dẫn HS xét trường hợp xn bất kì sao cho xn≠2 bà xn→2.

- GV ghi bảng hoặc trình chiếu phần khung kiến thức trọng tâm để giới thiệu cho HS về khái niệm giới hạn tại một điểm.

- GV hướng dẫn HS thực hiện Ví dụ 1

+ Lấy dãy số (xn) bất kì sao cho xn≠1 và xn→1.

+ Rút gọn f(xn)

+ Tính giới hạn fxn.

- GV chỉ định một HS nhắc lại quy tắc tính giới hạn của dãy số. 

- GV giới thiệu quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm theo như SGK.

- GV cho HS thực hiện Ví dụ 2 theo SGK và mời một số HS trình bày lại cách thực hiện.

- GV gợi ý cho HS thực hiện Ví dụ 3.

+ Mẫu thức có giới hạn là 0 khi x→0

Ta cần nhân liên hợp phân thức với (x+9+3). Sau đó áp dụng quy tắc giới hạn của thương hai hàm số.

- GV cho HS thực hiện trao đổi, thảo luận Luyện tập 1 theo nhóm đôi

+ GV mời 1 HS lên bảng trình bày bài giải. HS dưới lớp đối chiếu bài làm và nêu nhận xét.

+ GV chốt đáp án.

Nhiệm vụ 2: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên.

- GV cho HS thảo luận nhóm 3 người để thực hiện HĐ2.

+ Phần a, biến đổi xn=nn+1 và xn'=n+1n

Nhận thấy xn=nn+1<0, ∀n và xn'=n+1n>0, ∀n.

→ Từ đó tính được yn và yn'.

+ Phần b, áp dụng quy tắc tính giới hạn để thực hiện.

+ Phần c, vì xn<1<xn' nên xn-1<0 và xn'-1>0, ta tính được f(xn) và f(xn').

Từ đó ta tính được giới hạn của fxn, fxn' khi n→+∞.

- GV khái quát nội dung kiến thức từ phần HĐ2 để giới thiệu cho HS khái niệm về giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số.

- GV hướng dẫn cho HS cách xác định giá trị hàm số khi x→1+ và khi x→1- theo như SGK để hoàn thành Ví dụ 4.

- GV đặt câu hỏi: Với điều kiện nào thì f(x) =L ?

- GV cho HS thảo luận nhóm 5 người theo phương pháp khăn trải bàn và thực hiện Luyện tập 2.

+ GV mời 2 HS bất kì lên bảng trình bày lời giải.

+ GV nhận xét và lưu ý lại kinh nghiệm làm bài cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm 

+ Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm; 

+ Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

+ Giới hạn một bên.

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm.

HĐ1

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x-2⟺x≠2

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D=R\ 2.

b) Ta có:

fxn=4-2n+1n22n+1n-2=4-4+4n+1n21n=-4-1n 

un =f(xn) =-4-1n =-4 

c) Ta có:

fxn=4-xn2xn-2=2-xn2+xn-2-xn=-2-xn 

Vì xn≠2 và xn→2 với mọi n nên xn =2

Do đó, f(x) =(2-xn) =-2-2=-4.

Khái niệm

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm x0. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn∈(a;b), xnx0 và xnx0, ta có fxn→L, kí hiệu f(x) =L hay fx→L khi x→x0.

Ví dụ 1: (SGK – tr.111)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.112).

Quy tắc

a) Nếu f(x) =L và g(x) =M thì:

fx+gx =L+M 

fx-gx =L-M 

fx.gx =L.M 

fxgx =LM, nếu M≠0

b) Nếu fx≥0 với mọi x∈a;b\x0 và fx =L thì L≥0 và fx =L.

Chú ý:

+) c =c với c là hằng số.

+) xn =x0n với n∈N.

Ví dụ 2: (SGK – tr.112).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.112).

Ví dụ 3: (SGK – tr.112)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.112, 113).

Luyện tập 1

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x→1 nên ta không thể áp dụng trực tiếp quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Ta có: x-1x-1=x+1x-1x-1=x+1

Do đó x-1x-1 =x+1

=x +1 =1+1=2 

HĐ2

a) Ta có: xn=nn+1<1 với mọi n => xn-1<0 với mọi n.

Do đó, yn=fxn=xn-1xn-1=-xn-1xn-1=-1

Ta cũng có: xn'=n+1n>1 với mọi n => xn'-1>0 với mọi n.

Do đó, yn'=fxn'=xn'-1xn'-1=xn'-1xn'-1=1

b) Ta có yn =(-1) =-1

yn' =1 =1 

c) Ta có:

fx=x-1x-1={x-1x-1   Nếu x-1>0 -x-1x-1 Nếu x-1<0  

={1 nếu x-1>0    -1 nếu x-1<0  

Vì xn<1<xn', suy ra xn-1<0 và xn'-1>0 với mọi n.

Do đó, fxn=-1 và fxn'=1

Vậy f(xn) =-1 và f(xn') =1.

Khái niệm

+ Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x→x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn x0<xn<b và xnx0, ta có fx→L, kiếu hiệu f(x) =L.

+ Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x→x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn a<xn<x0 và xnx0, ta có fxn→L, kí hiệu f(x) =L.

Ví dụ 4: (SGK – tr.113).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.113).

Chú ý;

f(x) =L khi và chỉ khi f(x) =f(x) =L.

Luyện tập 2

Với dãy số (xn) bất kì sao cho xn<0 và xn→0, ta có fxn=-xn

Do đó 

fx =f(xn) =(-xn) =0 

Tương tự, với dãy số (xn) bất kì sao cho xn>0 và xn→0, ta có fxn=xn.

Do đó 

f(x) =fxn =xn =0 

Khi đó, f(x) =f(x) =0

Vậy f(x) =0