BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Bài 1: Nhận biết khái niệm hai phương trình tương đương

Cho hai phương trình. Tìm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình trên

Giải nhanh:

* Phương trình:

Vậy phương trình có tập nghiệm

* Phương trình:

Vậy phương trình có tập nghiệm

=> Nhận thấy cả hai phương trình đều có tập nghiệm

Bài 2: Xét sự tương đương của hai phương trình sau:

và

Giải nhanh:

* Phương trình:

+ ĐKXĐ: .

+ Ta có: (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: .

* Phương trình:

+ Ta có:

Vậy tập nghiệm phương trình là:

=> Hai phương trình này không phải phương trình tương đương.

2. PHƯƠNG TRÌNH SINX = M

Bài 1: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình sin x = ½ 

a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [0; 2π).

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Giải nhanh:

a) Trong nửa khoảng , phương trình có 2 nghiệm là và

b) và

Bài 2: Giải các phương trình sau:

b)

Giải nhanh:

a) và

b) và

3. PHƯƠNG TRÌNH COSX = M

Bài 1: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình cos x =

a) Quan sát Hình 1.22a, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng  .

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số cosin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Giải nhanh:

a) và

b) và  

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a)

b)

Giải nhanh:

a)  

b)

Bài 3: Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời chiếu sáng một phần. Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phần bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là α (0° ≤ α ≤ 360°) thì tỉ lệ F của phần Mặt Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức

F =

(Theo trang usno.navy.mil).

Xác định góc α tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng:

a) F = 0 (trăng mới);

b) F = 0,25 (trăng lưỡi liềm);

c) F = 0,5 (trăng bán nguyệt đầu tháng hoặc trăng bán nguyệt cuối tháng);

d) F = 1 (trăng tròn).

Giải nhanh:

a) Với , ta có:

Mà  

b) Với , ta có:

.

Mà  

c) Với , ta có:

. 

Mà

d) Với , ta có:

. 

Mà

4. PHƯƠNG TRÌNH TANX = M

Bài 1: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình tan x = 1

a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại mấy điểm trên khoảng ?

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Giải nhanh:

a)

b)

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a)

b)

Giải nhanh:

a)

. 

b)

5. PHƯƠNG TRÌNH COTX = M

Bài 1: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình cot x = – 1

a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng y = – 1 cắt đồ thị hàm số y = cot x tại mấy điểm trên khoảng (0; π)?

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm côtang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Giải nhanh:

a)

b)

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a)

b)

Giải nhanh:

a)  

b)

6. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÌM MỘT GÓC KHI BIẾT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA NÓ

Bài 1: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và rađian của góc α, biết:

a)

b)

c)

Giải nhanh:

a) α ≈ 2,41886 rad

b) α ≈ 1,1847 rad

c) α ≈ – 0,16042 rad

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1.19: Giải các phương trình sau:

Giải nhanh:

a)

b)

c) .

d)  

Bài tập 1.20: Giải các phương trình sau:

a) sin 2x + cos 4x = 0;

b) cos 3x = – cos 7x.

Giải nhanh:

a)

b)

Bài tập 1.21: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v0 = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình , ở đó g = 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

Giải nhanh:

Vì nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là

hay

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó

Loại (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22000 m thì

Khi đó:

c) Hàm số là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh là:

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là

Ta có: dấu “=” xảy ra khi hay

Như vậy góc bắn thì quả đan đạt độ cao lớn nhất

Bài tập 1.22: Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình x =

Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Giải nhanh:

Vật qua vị trí cân bằng, khi đó , ta có

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là hay

Vì nên

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần