BÀI 2. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. CÔNG THỨC CỘNG

Bài 1: a. Cho a = và b = , hãy chứng tỏ

b. Bằng cách viết a + b = a - (-b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính

c. Bằng cách viết và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin (a-b)

Giải nhanh:

a) Ta có: nên

Vậy .

b) Ta có:  

Mà (hai góc đối nhau).

=>=

c) Ta có:  

(do

) 

Vậy sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Bài 2: Chứng minh rằng:

a.

b.

Giải nhanh:

a)  

(đpcm)

b)  

(do )

Bài 3: Giải bài toán trong tình huống mở đầu

Giải nhanh:

Ta có:

2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

Bài 1: Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: ;

Giải nhanh:

+)

+)

= = 2 cos² - 1

+) =  

Bài 2: Không dùng máy tính, tính cos² =

Giải nhanh:

Ta có:

Suy ra . Do đó:

Vì nên suy ra

Vì nên suy ra

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Bài 1: a) Từ các công thức cộng , hãy tìm

b) Từ các công thức cộng , hãy tìm

Giải nhanh:

a) Ta có: 

 (1)

(2)

Lấy (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được:

=>  

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1), ta được: 

=>  

b) Ta có: 

Lấy (3) và (4) cộng vế theo vế, ta được:

=>  

Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức

Giải nhanh:

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

Bài 1: Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt và viết các công thức nhận được

Giải nhanh:

(1) 

(2)

(3)

Đặt .

=>

=>

=>

Khi đó:

+ (1) trở thành:

⇔

+) (2) trở thành:

⇔

+) (3) trở thành:

⇔ .

Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức:

Giải nhanh:

= 0

Bài 3: Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp f1 và tần số cao f2 liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm y = , ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).

a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.

b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Giải nhanh:

a) y  

b)  

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1.7: Sử dụng 15⁰ = 45⁰ -30⁰, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15⁰

Giải nhanh:
 

Bài tập 1.8: Tính

a) Cos và 

b) Tan và 

Giải nhanh:

a)  

b)

Bài tập 1.9: Tính , biết:

a) Sin a = ⅓ và

b) = ½ và

Giải nhanh:

a)

b)

Bài tập 1.10: Tính giá trị của các biểu thức sau

Giải nhanh:

a)

b) 

Bài tập 1.11: Chứng minh đẳng thức sau:

Giải nhanh:

Bài tập 1.12: Cho tam giác ABC có

a) Sử dụng công thức và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức S =

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC

Giải nhanh:

a) Định lí sin trong tam giác ABC với và là:

Từ đó suy ra

Diện tích tam giác ABC là:

Vậy

b) Ta có:  

Ta có:

Vậy diện tích là

Bài tập 1.13: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức , trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

(cm)

(cm)

Tìm dao động tổng hợp và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Giải nhanh: