BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

A - TRẮC NGHIỆM

Bài tập 2.22: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới

B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên

C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm

D. Một dãy số không đổi thì bị chặn

Giải nhanh:

C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm

Bài tập 2.23: Cho dãy số 1, ; ; ;... (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó). Công thức tổng quát của dãy số đã cho là:

A.

B.  

C.

D.

Giải nhanh:

D.

Bài tập 2.24: Cho dãy số (un) với un=3n+6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số u_n là cấp số cộng với công sai d = 3

B. Dãy số u_n là cấp số cộng với công sai d = 6

C. Dãy số u_n là cấp số nhân với công bội q = 3

D. Dãy số u_n là cấp số nhân với công bội q = 6

Giải nhanh:

A. Dãy số u_n là cấp số cộng với công sai d = 3

Bài tập 2.25: Trong dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. u1 = – 1, un + 1 = u²_n

B. u1 = – 1, un + 1 = 2un.

C. u1 = – 1, un + 1 = un + 2.

D. u1 = – 1, un + 1 = u­n – 2.

Giải nhanh:

B. u1 = – 1, un + 1 = 2un

Bài tập 2.26: Tổng 100 số hạng đầu của dãy số (un) với u­n = 2n – 1 là

A. 199

B. 2100 – 1

C. 10 000

D. 9 999

Giải nhanh:

C. 10 000

B - TỰ LUẬN

Bài tập 2.27: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?

Giải nhanh:

Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là

(tiếng chuông)

Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu , công sai

Tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là:

(tiếng chuông).

Bài tập 2.28: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Giải nhanh:

Vì ban đầu có một tế bào và mỗi lần một tế bào phân chia thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với .

Vì cứ 20 phút lại phân đôi một lần nên sau 24 giờ sẽ có = 72 lần phân chia tế bào và là số tế bào nhận được sau 24 giờ.

Số tế bào nhận được sau 24 giờ phân chia là

(tế bào)

Bài tập 2.29: Chứng minh rằng:

a) Trong một cấp số cộng (un), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là với k ≥ 2.

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

= với k ≥ 2.

Giải nhanh:

a) Giả sử là cấp số cộng với công sai d. Khi đó với , ta có:

và

=> =>  (đpcm).

b) Giả sử cấp số nhân có công bội là q. Khi đó với , ta có:

;

.

=>

Bài tập 2.30: Tìm ba số, biết theo thứ tự chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Giải nhanh:

Giả sử 3 số cần tìm là với .

Ta có:

Vì lập thành một cấp số cộng nên: .

Do đó, =>

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì:

và

Sau khi thêm các số 2; 3; 9 vào ba số ta được ba số là hay và theo đề bài thì 3 số này lập thành một cấp số nhân.

Áp dụng Bài 2.29b, ta có:

=> hoặc.

+) Với , ta có cấp số cộng gồm 3 số

+) Với , ta có cấp số cộng gồm 3 số .

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là và

Bài tập 2.31: Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 25 bậc, mỗi bậc cao 16 cm.

a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân.

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.

Giải nhanh:

a) Đổi .

Gọi u_i là độ cao từ bậc thang thứ i so với mặt sân.

Vì mỗi bậc thang cao 0,16 m, mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5 m nên bậc thang đầu tiên sẽ cao hơn so với mặt sân là hay .

Từ các bậc sau thì: bậc sau cao hơn bậc liền trước nó 0,16 m, nên độ cao so với mặt sân của hai bậc thang liên tiếp cũng hơn kém nhau .

Hay

Do đó, độ cao từ các bậc thang so với mặt sân, từ bậc 1 đến bậc 25 tạo thành một cấp số cộng với và

Vậy công thức tính độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân là

b) Vì mặt sàn tầng hai có cùng độ cao với bậc thứ 25 (bậc cao nhất) của cầu thang.

Nên độ cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân cũng là độ cao từ bậc thứ 25 so với mặt sân.

Vậy độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với là

Bài tập 2.32: Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa là được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh bằng bao nhiêu?

Giải nhanh:

+ Chia lần 1: Hình vuông màu vàng lớn có cạnh bằng 1 đơn vị thì có diện tích bằng 1 (đvdt). Chia hình vuông này thành 9 hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh, thì hình vuông màu xanh đầu tiên này có diện tích bằng (đvdt).

+ Chia lần 2: 8 hình vuông màu vàng còn lại, mỗi hình vuông này lại được chia thành 9 hình vuông con và tiếp tục tô xanh hình vuông chính giữa, khi đó mỗi hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích . 8 hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích bằng 8S₁.

Cứ tiếp tục như vậy, mỗi lần chia ta sẽ tạo thành 8 hình vuông xanh nhỏ hơn tiếp đối với mỗi ô vuông vàng nhỏ.

Do đó, quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì trừ lần đầu tiên, 4 lần sau, mỗi lần chia diện tích ô vuông xanh tạo thành lập thành một cấp số nhân có: và công bội

Vậy tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là:

(đvdt)