A - TRẮC NGHIỆM

Bài tập 2.22: Khẳng định nào sau đây là sai...

Đáp án:

Đáp án C.

Một dãy số bị chặn không nhất thiết phải là dãy số tăng hoặc giảm. Chẳng hạn ta xét dãy số $(u_{n})$ có số hạng tổng quát: $u_{n}$=$(-1)^{n-1}$ $sinsin\frac{1}{n}$ .

=> Dãy số này đan dấu nên nó không tăng, không giảm.

Mặt khác ta có: |$u_{n}$|=|$(-1)^{n-1}$ $sinsin\frac{1}{n}$| =|$sinsin\frac{1}{n}$| ≤1 suy ra dãy số $(u_{n})$ bị chặn.

Vậy đáp án C sai.

Bài tập 2.23: Cho dãy số...

Đáp án:

Đáp án D. 

Công thức tổng quát cảu dãy số là: $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$ có số hạng đầu $u_{1}=(\frac{1}{2})^{1-1}=1$ thỏa mãn.

Bài tập 2.24: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = 3n + 6$. Khẳng định nào sau đây là đúng...

Đáp án:

Đáp án A. 

Ta có: $u_{n}-u_{n-1}=(3n+6)-[3(n-1)+6]=3$, $\forall n\geq 2$.

Do đó, $(u_{n})$ là cấp số cộng với công sai d=3.

Bài tập 2.25: Trong dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số...

Đáp án:

Đáp án B. 

Ta có: $u_{1}$=-1, $u_{n+1}$=2$u_{n}$ có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=2$, $\forall n\geq 1$.

=> Dãy số này là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}$= –1 và công bội q=2.

Bài tập 2.26: Tổng 100 số hạng đầu của dãy số...

Đáp án:

Đáp án C.  

Xét: $u_{n}-u_{n-1}=(2n-1)-[2(n-1)-1]=2$, $\forall n\geq 2$.

Do đó, dãy số $(u_{n})$ là một cấp số cộng có $u_{1}$=1 và công sai d=2.

=> $S_{100}=\frac{100}{2}(2u_{1}+(100-1)d)=10000$

B - TỰ LUẬN

Bài tập 2.27: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc...

Đáp án:

Vì đồng hồ chỉ đánh chuông báo giờ nên ta có:

- Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.

...

- Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông.

Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$=1, công sai d=1.

Tổng số tiếng chuông trong khoảng từ 0 đến 12 giờ trưa là

$S_{12}=\frac{12}{2}(2u_{1}+(12-1)d)=6(2.1+11.1)=78$ (tiếng chuông).

Bài tập 2.28: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích...

Đáp án:

Vì ban đầu có một tế bào và mỗi 20 phút sẽ phân đôi nên ta có cấp số nhân với $u_{1}$ = 1, q = 2.

Sau 24 giờ sẽ có $\frac{24.60}{20}= 72$ lần phân chia tế bào và $u_{73}$ là số tế bào nhận được sau 24 giờ.

Vậy số tế bào nhận được sau 24 giờ phân chia là

$u_{73}=u_{1}.q^{73-1}=1.2^{73-1}=2^{72}$ (tế bào).

Bài tập 2.29: Chứng minh rằng...

Đáp án:

a) Giả sử $(u_{n})$ là cấp số cộng với công sai d với $k\geq 2$, ta có:

$u_{k-1}$=$u_{k}$-d và $u_{k}$+1=$u_{k}$+d

Xét $u_{k-1}$+$u_{k}$+1=$u_{k}$-d+$u_{k}$+d=2$u_{k}$ 

Hay $u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k}}{2}$ (đpcm).

b) Giả sử cấp số nhân có công bội là q với $k\geq 2$, ta có:

$u_{k-1}$= $u_{1} . q^{k-1-1}$= $u_{1} . q^{k-2}$;

$u_{k+1}$= $u_{1}.q^{k+1-1}$ = $u_{1}q^{k}$.

=>$u_{k-1}.u_{k+1}$=$(u_{1} . q^{k-2}).(u_{1}q^{k})$= $u_{1}^{2}.q^{2k-2}=(u_{1}.q^{k-1})^{2}=u_{k}^{2}$ (đpcm)

Bài tập 2.30: Tìm ba số, biết theo thứ tự đó...

Đáp án:

Gọi 3 số cần tìm là x, y, z với x<y<z.

Ta có: x + y + z = 21  x + z = 21 – y.

Vì x, y, z lập thành một cấp số cộng nên: $y=\frac{x+z}{2}$

<=> $y=\frac{21-y}{2}$=> y=7.

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x=y –d=7 – d và z=y+d=7+d.

Thêm các số 2; 3; 9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x+2, y+3, z+9 

Hay 9 – d, 10, 16 + d và dãy số này lập thành một cấp số nhân.

=> $(9 – d)(16 + d)=10^{2}$

 <=>$144 – 7d – d^{2} = 100 $

<=> $d^{2}+ 7d – 44 = 0$ 

<=> d= -11;  d=4  

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là (18, 7, – 4) và (3, 7, 11).

Bài tập 2.31: Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một...

Đáp án:

a) Đổi 16 cm = 0,16 m.

Gọi $u_{i}$ là độ cao từ bậc thang thứ i (của cầu thang) so với mặt sân.

Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5 m nên ta có $u_{1}$=0,66.

Từ các bậc sau thì: bậc sau cao hơn bậc liền trước nó 0,16 m 

Hay $u_{n+1}$=$u_{n}+0,16$ ;$1\leq n\leq 25$

Do đó, độ cao từ các bậc thang so với mặt sân, từ bậc 1 đến bậc 25 tạo thành một cấp số cộng với $u_{1}$= 0,66 và công sai d= 0,16.

Vậy công thức tính độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân là

$u_{n} = $u_{1} + (n – 1)d = 0,66 + (n – 1).0,16 = 0,5 + 0,16n$ (m).

b) Vậy độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân là

$u_{25}= 0,5 + 0,16.25 = 4,5$ (m).

Bài tập 2.32: Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị...

Đáp án:

+ Chia lần 1: Hình vuông màu vàng lớn có cạnh bằng 1 đơn vị thì có diện tích bằng 1 (đvdt). Hình vuông màu xanh này có diện tích bằng $\frac{1}{9}$ (đvdt).

+ Chia lần 2: Mỗi hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích $S_{1}=\frac{1}{9}.\frac{1}{9}=\frac{1}{9^{2}}. 8$ hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích bằng $8S_{1}$

 Cứ tiếp tục như vậy, mỗi lần chia ta sẽ tạo thành 8 hình vuông xanh nhỏ hơn tiếp đối với mỗi ô vuông vàng nhỏ. 

Do đó, quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì trừ lần đầu tiên, 4 lần sau, mỗi lần chia diện tích ô vuông xanh tạo thành lập thành một cấp số nhân có: $u_{1}=8.\frac{1}{9^{2}}$. và công bội $q=8.\frac{1}{9}$

Vậy tổng diện tích các ô vuông màu xanh là:

$S=\frac{1}{9}+ \frac{8.\frac{1}{9^{2}}.(1-(\frac{8}{9})^{4})}{1-\frac{8}{9}}=\frac{26281}{59049}$ (đvdt)