A - TRẮC NGHIỆM

Bài tập 5.18: Cho dãy số...

Đáp án:

Đáp án C.

$u_{n}=(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n})=\sqrt{n^{2}(1+\frac{1}{n^{2}})}=[n(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{n}})]=+\infty$

=> $u_{n}=+\infty$

Bài tập 5.19: Cho...

Đáp án:

Đáp án B.

$2+2^{2}+...+2^{n}$ là tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân với u1=2; d = q-2. Do đó, $2+2^{2}+...+2^{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{2(1-2^{n})}{1-2}=-2(1-2^{n})$

Khi đó, $u_{n}=\frac{2+2^{2}+...+2^{n}}{2^{n}}=-\frac{2(1-2^{n})}{2^{n}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$

Vậy $u_{n}=2-\frac{1}{2^{n-1}}=2$

Bài tập 5.20: Cho cấp số nhân lùi vô hạn...

Đáp án:

Đáp án C.

$u_{1}=\frac{2}{3}$; $u_{2}=\frac{2}{9}$, $q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{2}{9}:\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

=> $S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}=1$

Bài tập 5.21: Cho hàm số...

Đáp án:

Đáp án B.

$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}=\frac{(\sqrt{x+1})^{2}-\sqrt{x+2})^{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}=\frac{(x+1)-(x+2)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}=-\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}$

=> $f(x)=-\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}$

Bài tập 5.22: Cho hàm số...

Đáp án:

Đáp án B

$f(x)=\frac{x-x^{2}}{|x|}=\left\{\begin{matrix}\frac{x-x^{2}}{x}\end{matrix}\right. $ khi $x>0$

$\left\{\begin{matrix}\frac{x-x^{2}}{-x}\end{matrix}\right. $ khi $x<0

= $\left\{\begin{matrix} 1-x\end{matrix}\right.$ khi $x>0$ $x-1$ khi $x<0$.

=> $f(x)=(1-x)=1$

Bài tập 5.23: Cho hàm số...

Đáp án:

Đáp án C.

$f(x)=\frac{x+1}{|x+1|}=\left\{\begin{matrix}\frac{x+1}{x+1}\end{matrix}\right. $ khi $x+1>0$

$\left\{\begin{matrix}\frac{x+1}{-(x+1)}\end{matrix}\right. $ khi $x+1<0$

= 1 khi $x>-1$ -1 khi $x<-1$.

$D=(-\infty ;1) \cup (-1; +\infty )$

Vậy hàm số đã cho liên tục trên $(-\infty ;1) \cup (-1; +\infty )$

Bài tập 5.24: Cho hàm số...

Đáp án:

Đáp án B.

$f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x-1}=(x+2)=3$

$f(1)=a$

Để f(x) liên tục tại x=1 thì f(x) =f(1) <=> a=3

B - TỰ LUẬN

Bài tập 5.25: Cho dãy số...

Đáp án:

Vì $|u_{n}-1| <\frac{2}{n}=0$

=> $(u_{n}-1)=0$ => $u_{n}=1$

Bài tập 5.26: Tìm giới hạn của các dãy số sau...

Đáp án:

a) $\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}=(\frac{1}{3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^{2}}})=\frac{1}{3}$

b) $\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}=\sum_{k=0}^{n}(\frac{1}{2})^{k}+\sum_{k=0}^{n}(\frac{5}{6})^{k}=\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}+\frac{1-(\frac{5}{6})^{n+1}}{1-\frac{5}{6}}$

= $2(1-(\frac{1}{2})^{n+1})+6(1-(\frac{5}{6})^{n+1})$

Do vậy $v_{n}=8$

c) Ta có $0\leq |sinsinn|\leq 1$

=> $|w_{n}|=\frac{|sinsinn|}{4n}\leq \frac{1}{4n} \rightarrow 0$ khi $n\rightarrow +\infty$.

Vậy $w_{n}=0$

Bài tập 5.27: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số...

Đáp án:

a) $1,(01)=1+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+...=1+\frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{100}}=1\frac{1}{99}$

b) $5, (132)=5+\frac{132}{1000}+\frac{132}{1000^{2}}+...=5+\frac{\frac{132}{100}}{1-\frac{1}{1000}}=5\frac{132}{999}$

Bài tập 5.28: Tính các giới hạn sau...

Đáp án:

a) $\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}=\frac{1}{\sqrt{x+2}+3}=\frac{1}{6}$

b) $\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}=\frac{x^{2}+x+1}{x+1}=\frac{3}{2}$

c) $\frac{2-x}{(1-x)^{2}}=+\infty$

d) $\frac{x+2}{\sqrt{4x^{2}+1}} =\frac{1+\frac{2}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}=-\frac{1}{2}$ 

Bài tập 5.29: Tính các giới hạn một bên...

Đáp án:

a) $\frac{x^{2}-9}{|x-3|}=\frac{x^{2}-9}{|x-3|}=(x+3)=6$

b) $\frac{x}{\sqrt{1-x}}=+\infty $

Bài tập 5.30: Chứng minh rằng giới hạn...

Đáp án:

Ta có $\frac{x}{|x|}=1$ và $\frac{x}{|x|}=-1$ 

Vậy không tồn tại giới hạn $\frac{x}{|x|}$

Bài tập 5.31: Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm...

Đáp án:

a) $f(x)=+\infty $

f(0) = 1

Vì $f(0)\neq  f(x) $

=> Hàm số gián đoạn tại x = 0

b) g(x) =(2-x) =1 và g(x) =(1+x) =2

Do đó không tồn tại giới hạn g(x) . => Hàm số gián đoạn tại x = 1

Bài tập 5.32: Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị...

Đáp án:

Xét hàm số:

$F(r)=\begin{cases} \frac{GM_{r}}{R^{3}} & \text{ if } r<R \\ \frac{GM}{r^{2}} & \text{ if } r \geq R\end{cases}$

Hàm số này liên tục trên các khoảng $(-\infty ;R); (R;+\infty )$. Xét tại điểm r=R.

Ta có $F(r)=\frac{GM}{R^{2}}$

Mà $F(r)=\frac{GM}{r^{2}}=\frac{GM}{R^{2}}$, $F(r)=\frac{GM}{R^{3}}=\frac{GM}{R^{2}}$

Vậy F(r) =F(r)=F(R).

=> F(r) liên tục tại r=R.

Bài tập 5.33: Tìm tập xác định của các hàm số...

Đáp án:

a) Hàm số f(x) xác định trên các khoảng $(-\infty ;-3); (-3;-2); (-2;+\infty )$

b) Hàm số này xác định trên các khoảng $(k\pi; (k+1)\pi)$ với $k\in Z$

Bài tập 5.34: Tìm các giá trị...

Đáp án:

Hàm số fx  liên tục trên các khoảng $(-\infty ;a)$ và $(;+\infty )$

Xét tính liên tục của hàm số tại x=a => f(a)=a+1=f(x)

Hơn nữa,$ f(x) =a^{2}$

Vậy hàm số liên tục tại x=a <=> $a^{2}=a+1$ hay $a=\frac{1}{2}(a\pm \sqrt{5})$