1. SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Khảo sát thời gian tự học của các học sinh trong lớp theo...

Đáp án:

a) Ta lập được bảng thống kê như sau:

b) Không thể tính chính xác thời gian tự học trung bình mà chỉ có thể tính số gần đúng vì không có mẫu số liệu cụ thể về thời gian tự học của mỗi học sinh.

c) Có thể tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm bằng cách chọn thời gian đại diện cho mỗi nhóm, sau đó sử dụng tần số tương ứng để tính số trung bình, cụ thể:

=> Số trung bình là: $\frac{5.0,75+15.2,25+8.3,75+2.5,25}{30}=2,6$

Vậy thời gian tự học trung bình của học sinh lớp 11A xấp xỉ khoảng 2,6 giờ.

Bài 2: Tìm hiểu thời gian xem...

Đáp án:

Ta có bảng sau:

Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các học sinh là:

$\bar{x}=\frac{8.2,5+16.7,5+4.12,5+2.17,5+2.22,5}{8+16+4+2+2}=8,4375$ (giờ)

2. TRUNG VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của...

Đáp án:

Ta có: cỡ mẫu n = 21 =>Trung vị $x_{11}$ của mẫu số liệu thuộc nhóm [5; 10).

Bài 2: Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng...

Đáp án:

Cỡ mẫu là n = 200.

Gọi $x_{1}, x_{2},…x_{200}$ là tốc độ giao bóng của vận động viên và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là: $\frac{x_{100}+x_{100}}{2}$

Do 2 giá trị $x_{100}, x_{100}$ thuộc nhóm [165; 170) (Vì 18 + 28 + 35 + 43 = 124) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó:

p=4; $a_{4}=165$; $m_{4}=43$; $m_{1}+m_{2}+m_{3}=81$; $a_{5}-a_{4}=5$

Ta có: $M_{e}=165+\frac{\frac{200}{2}-81}{43}\cdot 5\approx 167,21$

3. TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Với mẫu số liệu ghép nhóm cho...

Đáp án:

Cỡ mẫu là n = 21 

Ta có: $Q1=\frac{x_{5}+x_{6}}{2}$, mà $x_{5}, x_{6}$ thuộc nhóm [5; 10) nên tứ phân vị thứ nhất Q1 thuộc nhóm [5; 10).

$Q3=\frac{x_{16}+x_{17}}{2}$. Ta có: 3+8+7=18, do đó $x_{16}, x_{17}$ thuộc nhóm [10; 15) nên Q3 thuộc nhóm [10; 15).

Bài 2: Tìm tứ phân vị thứ nhất...

Đáp án:

Cỡ mẫu là n = 200.

Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ là $\frac{x_{50}+x_{51}}{2}$. Do $x_{50}, x_{51}$ đều thuộc nhóm [160;165) nên nhóm này chứa $Q_{1}$.

Do đó, p=3, $a_{3}=160$; $m_{3}=35$; $m_{1}+m_{2}=46$; $a_{4}-a_{3}=5$. Ta có: $Q_{1}=160+\frac{\frac{200}{4}-46}{35}\cdot 5\approx 160,57$

Tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ là $\frac{x_{150}+x_{151}}{2}$. Do $x_{150}, x_{151}$ đều thuộc nhóm [170;175) nên nhóm này chứa $Q_{3}$.

Do đó, p=5, $a_{5}=170$; $m_{5}=41$; $m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=124$; $a_{6}-a_{5}=5$.

Ta có: $Q_{3}=170+\frac{\frac{3\cdot 200}{4}-124}{41}\cdot 5\approx 173,17$.

4. MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Với số liệu cho trong Luyện tập...

Đáp án:

a) Không thể tính được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh.

b) Tần số lớn nhất là 16 nên mốt thuộc nhóm [5; 10) là hợp lí nhất. 

Ta có j=2; $a_{j}=a_{2}=5; m_{2}=16; m_{1}=8; m_{3}=4$; độ dài của nhóm h=5.

Do đó, mốt của mẫu số liệu xấp xỉ bằng: 

$5+\frac{16-8}{(16-8)+(16-4)}\cdot 5=7$

Bài 2: Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu...

Đáp án:

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa mốt là [10,5; 20,5).

Ta có, j=2; $a_{2}=10; m_{2}=10; m_{1}=2; m_{3}=6$; h=20,5-10,5=10.

Do đó, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_{O}=10,5+\frac{10-2}{(10-2)+(10-6)}\cdot 10=17,17$

Bài 3: Hãy tính các số đặc...

Đáp án:

Tổng số khách hàng là n = 35. Số trung bình là:

$\bar{x}=\frac{3.15+15.45+10.75+7.105 }{35}=63$

Từ đó, ta thấy số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng xấp xỉ 63 nghìn đồng và có thể dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.

+) Số trung vị, tứ phân vị

Cỡ mẫu là n = 35.

- Gọi $x_{1}, x_{2},…x_{35}$ là số tiền xăng của 35 khách hàng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. 

Khi đó, trung vị là $x_{18}$. Do $x_{18}$ thuộc nhóm [30; 60) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, p=2; $a_{2}=30; m_{2}=15; m_{1}=3; a_{3}-a_{2}$=30$.

$M_{e}=30+\frac{\frac{35}{2}-3}{15}\cdot 30=59$.

Từ đó ta thấy trung vị của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 59, giá trị này là ngưỡng để chia mẫu số liệu gốc thành 2 phần.

- Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ là $x_{9}$. Do $x_{9}$ thuộc nhóm [30;60) nên nhóm này chứa $Q_{1}$.

Do đó, p=2, $a_{3}=30$; $m_{2}=15$; $m_{1}=3$; $a_{3}-a_{2}=30$. Ta có: $Q_{1}=30+\frac{\frac{35}{4}-3}{15}\cdot 30=41,5$.

- Tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ là $x_{27}$. Do $x_{27}$ thuộc nhóm [60;90) nên nhóm này chứa $Q_{3}$.

Do đó, p=3, $a_{3}=60$; $m_{3}=10$; $m_{1}+m_{2}=18$; $a_{4}-a_{3}=30$. Ta có: $Q_{3}=60+\frac{\frac{3\cdot 35}{4}-18}{10}\cdot 30=84,75$.

- Tứ phân vị thứ hai $Q_{2}=M_{e}=59$

Có khoảng 25% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 41500 đồng; 50% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 59 000 đồng; 75% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 84 750 đồng.

+) Mốt

Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là nhóm [30; 60). Ta có j=2; $a_{2}=30; m_{2}=15; m_{1}=3; m_{3}=10$; h=30. Do đó

$M_{O}=30+\frac{15-3}{(15-3)+(15-10)}\cdot 30 \approx 51,18$.

Do đó, mốt của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 51,18. Vậy số khách hàng mua xăng với giá tiền khoảng 51,18 nghìn đồng là nhiều nhất.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 3.4: Quãng đường (km) từ nhà đến nơi làm việc...

Đáp án:

a) Ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar{x_{g}}=\frac{5 .  2,5+11 . 7,5+11 . 12,5+9 . 17,5+1 . 22,5+1 . 27,5+2 . 32,5}{40}=12,625$

Ta có: 5 + 3 + 10 + 20 + 25 + 11 + 13 + 7 + 12 + 31 + 19 + 10 + 12 + 17 + 18 + 11 + 32 + 17 + 16 + 2 + 7 + 9 + 7 + 8 + 3 + 5 + 12 + 15 + 18 + 3 + 12 + 14 + 2 + 9 + 6 + 15 + 15 + 7 + 6 + 12 = 476. 

Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm là $\bar{x} =\frac{476}{40}=11,9$

Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm chính xác hơn. 

c) Tần số lớn nhất là 11. Do đó, nhóm chứa mốt là các nhóm [5; 10) và [10; 15).

Bài tập 3.5: Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau...

Đáp án:

a) 14 là tần số lớn nhất nên mốt thuộc nhóm [3;3.5). Ta có:

j=3; $a_{3}=3; m_{3}=14; m_{2}=9; m_{4}=11$; h=0,5.

=> $M_{O}=3+\frac{14-9}{(14-9)+(14-11)}\cdot 0,5=3,3125$

Ý nghĩa: Tuổi thọ chủ yếu của bình ắc quy ô tô khoảng 3,3125 năm.

b) Ta có bảng sau:

Tuổi thọ trung bình của 50 ắc quy ô tô này là:

$\bar{x}=\frac{4 . 2,25+9 . 2,75+14 . 3,25+11 . 3,75+7 . 4,25+5 . 4,75}{50}=3,48$ (năm)

Bài tập 3.6: Điểm thi môn Toán...

Đáp án:

a) Ta được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

b) Cỡ mẫu là n = 60.

Gọi $x_{1}, x_{2}, …x_{60}$  là điểm thi môn Toán của 60 thí sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là $\frac{X_{30}+X_{31}}{2}$.. Do hai giá trị $X_{30}, X_{31}$ thuộc nhóm [49,5; 59,5) nên nhóm này chứa trung vị. 

Do đó, p=6; $a_{6}=49,5$; $m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+m_{5}=28$; $a_{7}-a_{6}=10$ và ta có:

$M_{e}=49,5+\frac{\frac{60}{2}-28}{12}\cdot 10\approx 51,17$

Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ là $\frac{x_{15}+x_{16}}{2}$. Do $x_{15}, x_{16}$ đều thuộc nhóm [39,5 ; 49,5) nên nhóm này chứa $Q_{1}$.

Do đó, p=5, $a_{3}=39,5$; $m_{6}=12$; $m_{1}+m_{2}+m_{3}=13$; $a_{7}-a_{6}=10$ và ta có:

$Q_{1}=39,5+\frac{\frac{60}{4}-13}{15}\cdot 10\approx 40,83$

Ý nghĩa: Có 25% số giá trị nhỏ hơn 40,83.

Tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ là $\frac{x_{45}+x_{46}}{2}$. Do $x_{45}, x_{46}$ đều thuộc nhóm [59,5 ; 69,5) nên nhóm này chứa $Q_{3}$.

Do đó, p=7, $a_{7}=59,5$; $m_{7}=10$; $m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+m_{5}+m_{6}=40$; $a_{6}-a_{5}=10$ và ta có:

$Q_{3}=59,5+\frac{\frac{3\cdot 60}{4}-40}{10}\cdot 10=64,5$.

Ý nghĩa: Có 75% số giá trị nhỏ hơn 64,5.

Tứ phân vị thứ hai: $Q_{2}=M_{e}\approx 51,17$.

Ý nghĩa: Có 50% số giá trị nhỏ hơn 51,17

Bài tập 3.7: Phỏng vấn một số học sinh khối...

Đáp án:

a) Ta có bảng sau:

Thời gian ngủ trung bình của các bạn nam là:

$\bar{x_{1}}=\frac{6 . 4,5+10 . 5,5,+13 . 6,5+9 . 7,5+7 . 8,5}{6 + 10 + 13 + 9 + 7}=6,52$

Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nữ là:

$\bar{x_{2}}=\frac{4 . 4,5+8 . 5,5+10 . 6,5+11 . 7,5+8 . 8,5}{4 + 8 + 10 + 11 + 8}\approx 6,77$

Vì 6,52 < 6,77 nên thời gian ngủ trung bình của các học sinh nữ nhiều hơn các học sinh nam.

b) Ta có:

Cỡ mẫu là n = 45 + 41 = 86.

Gọi $x_{1}, x_{2},x_{3}, …x_{86}$  là thời gian ngủ của các học sinh khối 11 được khảo sát và giả sử dãy này đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị của mẫu số liệu là $\frac{X_{43}+X_{43}}{2}$.

Do đó, tứ phân vị thứ ba $Q_{1}=x_{22}$.Vì $x_{22}$ thuộc nhóm [5;6) nên nhóm này chứa $Q_{1}$.

$Q_{1}=5+\frac{\frac{86}{4}-10}{18}\approx 5,64$

Vậy 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất 5,64 giờ.