1. ĐỊNH NGHĨA

Bài 1: Nhận biết cấp số cộng...

Đáp án:

a) Năm số hạng đầu của dãy số ($u_{n}$) là: 1; 3; 5; 7; 9.

b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng ($u_{n}$)  theo số hạng $u_{n-1}$là $u_{n}=u_{n-1}+2$ (n ≥ 2)

Bài 2: Dãy số không đổi...

Đáp án:

Vì đây là một dãy số hằng có công thức biểu diễn un-un-1=a-a=0 với mọi n ≥ 2

=> Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số cộng với công sai d = 0.

Bài 3: Cho dãy số...

Đáp án:

Ta có: $u_{n}-u_{n-1}=-2n+3-[-2n-1+3]=-2$ với mọi n≥2

Vậy dãy số $(u_{n})$ là cấp số cộng có số hạng đầu là $u_{1}=1$ và công sai d= –2. 

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Bài 1: Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng...

Đáp án:

a) Ta có: $u_{2} = u_{1}+d$;

$u_{3}=u_{2}+d=u_{1}+2d$; 

$u_{4}=u_{3}+d=u_{1}+3d$; 

$u_{5}=u_{4}+d=u_{1}+4d$.

b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát $u_{n}$ là: $u_{n}= u_{1}+(n-1)d$

Bài 2: Cho dãy số...

Đáp án:

Ta có: $u_{n}-u_{n-1}= (4n – 3) – [4(n –1) – 3] = 4$, với mọi n ≥ 2.

Do đó, dãy số $(u_{n})$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}=1$ và công sai d= 4. Số hạng tổng quát là: $u_{n}=1+(n-1)\cdot 4$

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Bài 1: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng...

Đáp án:

a) Ta có: $u_{2}=u_{1}+d$; ...; 

$u_{n-1}=u_{1}+(n-1-1)d=u_{1}+(n-2)d$;  

$u_{n}=u_{1}+(n-1)d$. 

$S_{n}=u_{1}+(u_{1}+d)+...+[(u_{1}+(n-2)d)]+[(u_{1}+(n-1)d)]$ 

b) $S_{n}=u_{n}+(u_{n-1}+...+(u_{2}+(u_{1}$

=$[u_{1}+(n-1)d]+[(u_{1}+(n-2)d+...+(u_{1}+d)+u_{1}$

c)$2S_{n}=u_{1}+(u_{1}+d)+...+[u_{1}+(n-2)d]+[u_{1}+(n-1)d]+[u_{1}+(n-1)d]+[u_{1}+(n-2)d]+...+(u_{1}+d)+u_{1}$

$2S_{n}=u_{1}+[u_{1}+(n-1)d]+(u_{1}+d)+[u_{1}+(n-2)d]+...+(u_{1}+d)+[u_{1}+(n-1)d]+u_{1}$

$2S_{n}=[2u_{1}(n-1)d]+[2u_{1}(n-1)d]+...+[2u_{1}(n-1)d]+[2u_{1}(n-1)d]$

$2S_{n}=n[2u_{1}(n-1)d]$

$S_{n}=[2u_{1}(n-1)d]$

Bài 2: Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công...

Đáp án:

Số tiền lương anh Nam nhận được mỗi năm lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, $u_{1}=100$ và công sai d = 20.

Sau 10 năm, anh Nam nhận được tổng số lương là:

$S_{10}=u_{1}+u_{2}+...+u_{10}=\frac{10}{2}[2u_{1}+(10-1)d]=\frac{10}{2}(2\cdot100+9\cdot20)=1900$(triệu đồng)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 2.8: Xác định công sai, số hạng thứ 5...

Đáp án:

a) Ta có: 

Số hạng đầu $u_{1}=4$, công sai d  = 5

Số hạng thứ 5: $u_{5}=u_{1}+(5-1)d=4+4\cdot5=24$.

Số hạng thứ 100: $u_{100}=5\cdot 100-1=499$.

b) Ta có: Số hạng đầu $u_{1}=1$, công sai d= –2.

Số hạng thứ 5: $u_{5}=u_{1}+(5-1)d=1+4\cdot(-2)=-7$.

Số hạng thứ 100: $u_{100}=(-2)\cdot 100-1=-197$.

Bài tập 2.9: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số...

Đáp án:

a) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

$u_{1}=8$, ; $u_{2}=13$, ; $u_{3}=18$, ; $u_{4}=23$, ; $u_{5}=28$. 

Ta có: $u_{n}-u_{n-1}=(3+5n)-[3+5(n-1)]=5$, với mọi n≥2.

Do đó dãy số $(u_{n})$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}=8$ và công sai d=5.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là $u_{n}=8+(n-1)\cdot 5$.

b) Năm số hạng đầu của dãy số $(u_{n})$ là:

$u_{1}=2$; $u_{2}=8$; $u_{3}=14$; $u_{4}=20$; $u_{5}=26$.

Ta có: $u_{n}-u_{n-1}=(6n-4)-[6(n-1-4)]=6$, với mọi n≥2.

Do đó dãy số $(u_{n})$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}=2$ và công sai d=6.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là $u_{n}=2+(n-1)\cdot 6$.

c) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

$u_{1}=2$; $u_{2}=4$; $u_{3}=7$; $u_{4}=11$; $u_{5}=16$.

Ta có: $u_{n}=u_{n-1}+n$⇔ $u_{n}-u_{n-1}=n$ do n luôn thay đổi nên hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy số $(u_{n})$ thay đổi.

Vậy dãy số $(u_{n})$ không phải là cấp số cộng.

d) Năm số hạng đầu của dãy số $(u_{n})$ là: 

$u_{1}=2$; $u_{2}=5$; $u_{3}=8$; $u_{4}=11$; $u_{5}=14$.

Ta có: $u_{n}=u_{n-1}+3$ ⇔$u_{n}-u_{n-1}=3$, với mọi n≥2.

Do đó dãy số $(u_{n})$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}=2$và công sai d=3.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là $u_{n}=2+(n-1)\cdot 3$.

Bài tập 2.10: Một cấp số cộng có số hạng thứ...

Đáp án:

Ta có: $u_{5}=u_{1}+(5-1)d$ hay $18=u_{1}+4d$.

$u_{12}=u_{1}+(12-1)d$ hay $32=u_{1}+11d$.

Ta có hệ phương trình:

$u_{1}+d=18$

$u_{1}+11d=32$

⟺ $u_{1}=10$; d=2

Số hạng thứ 50 là $u_{50}=u_{1}+(50-1)d=10+49\cdot 2=108$.

Bài tập 2.11: Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng...

Đáp án:

Ta có: $S_{n}=\frac{n}{2}[2u_{1}+(n-1)d]=\frac{n}{2}[2,5+(n-1)\cdot 2]=2700$

⟺$n(10+2n-2)=5400$

⟺$2n^{2}+8n-5400=0$

⟺ [n=50 (TM); n=-54 (L)

Vậy tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng 2700.

Bài tập 2.12: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng...

Đáp án:

Ta có: Số hạng đầu $u_{1}=680$ và công sai d=-55 (do giá xe giảm).

Giá của chiếc ô tô sau 5 năm sử dụng là

$u_{5}=u_{1}+(5-1)d=640+4\cdot (-55)=640$ (triệu đồng).

Bài tập 2.13: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường...

Đáp án:

Ta có: $S_{n}=\frac{n}{2}[2u_{1}+(n-1)d]=\frac{n}{2}[2,5+(n-1)\cdot 3]\geq870$

Do đó, $n(30+3n-3)\geq1740$

⟺$3n^{2}+27n-1740=0$

⟺ $n\leq -29$ (L); $n\geq20$ (TM)

Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.

Bài tập 2.14: Vào năm 2020, dân số...

Đáp án:

Đổi 1,2 triệu người = 1 200 nghìn người.

Dân số từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành một cấp số cộng, gồm 11 số hạng với số hạng đầu $u_{1}=1200$và công sai d=30. 

Ta có: $u_{11}=u_{1}+(11-1)d=1200+10\cdot 30=1500$

Vậy dân số của thành phố này vào năm 2030 khoảng 1500 nghìn người hay 1,5 triệu người.