1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết dãy số vô hạn...

Đáp án:

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

$u_{1}=0^{2}=0$; $u_{2}=1^{2}=1$; $u_{3}=2^{2}=4$; $u_{4}=3^{2}=9$; $u_{5}=4^{2}=16$

Dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là $u_{n}=n-1^{2}$với $n\in N^{*}$.

Bài 2: Nhận biết dãy số hữu hạn...

Đáp án:

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 theo thứ tự từ bé đến lớn là: 

0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

b) Ta có: $u_{n}=n-1^{2}$ với $n\in N^{*}$ và n ≤ 8.

Bài 3: a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên...

Đáp án:

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q+1.

Số hạng tổng quát của dãy số là $u_{n}=5n+1$ $(n\in N^{*})$

b) Số hạng của dãy số là: 6; 11; 16; 21; 26.

Số hạng đầu : $u_{1}=6$, số hạng cuối : $u_{5}=26$.

2. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết các cách cho một dãy số...

Đáp án:

a) Công thức tổng quát $u_{n}=5n$ $(n\in N^{*})$

b) Số hạng đầu của dãy số là $u_{1}=5$.

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là $u_{n}=u_{n-1}+5$ $(n\in N^{*})$, $n> 1$.

Bài 2: a) Viết năm số hạng đầu của dãy số...

Đáp án:

a) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) với số hạng tổng quát $u_{n}$=n! là: 1; 2; 6; 24; 120

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci $(F_{n})$ là

$F_{1}=1$

$F_{2}=1$

$F_{3}=F_{2}+F_{1}=2$

$F_{4}=F_{3}+F_{2}=3$

$F_{5}=F_{4}+F_{3}=5$

3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

Bài 1: Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm...

Đáp án:

a) Ta có: $u_{n+1}=3(n+1)-1=3n+3-1=3n+2$

=> $u_{n+1}>u_{n}$, $n\in N^{*}$.

b) Ta có: $v_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}}$

Xét $v_{n+1}-v_{n}=\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{(n)^{2}}$

=$\frac{n^{2}-(n+1)^{2}}{n^{2}\cdot (n+1)^{2}}=\frac{n^{2}-(n^{2}+2n+1)}{n^{2}\cdot (n+1)^{2}}$

=$-\frac{2n+1}{n^{2}\cdot (n+1)^{2}}< 0$, $\forall n\in N^{*}$=> $v_{n+1}< v_{n}$, $\forall n\in N^{*}$

Bài 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số...

Đáp án:

$u_{n+1}=\frac{1}{(n+1)+1}=\frac{1}{n+2}$

$u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=-\frac{1}{(n+1)(n+2)}$, $\forall n\in N^{*}$

Tức là $u_{n+1}< u_{n}$, $n\in N^{*}$.

Vậy $(u_{n+1})$ là dãy số giảm.

Bài 3: Nhận biết dãy số bị chặn...

Đáp án:

a) Ta có: $u_{n}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$, $\forall n\in N^{*}$

b) Ta có: $\frac{1}{n}\leq 1$, $\forall n\in N^{*}$

=> $u_{n}=1+\frac{1}{n}\leq 2$, $\forall n\in N^{*}$

Bài 4: Xét tính bị chặn của dãy số...

Đáp án:

Ta có: $u_{n}=2n-1\geq 1$, $\forall n\in N^{*}$

Do đó, dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới và không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn: $u_{n}=2n-1\leq M$, $\forall n\in N^{*}$

Vậy dãy số $(u_{n})$bị chặn dưới.

Bài 5: Anh Thanh vừa được tuyển vào một công ty công nghệ...

Đáp án:

a) Ta có: $s_{n}=200+25(n-1)$

=> $s_{5}=200+25(5-1)=300$

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc là 300 triệu đồng.

b) Ta có: $s_{n}=s_{n-1}+25$ ⟺ $s_{n}-s_{n-1}=25> 0$ $\forall n\geq 2$, $n\in N^{*}$

Tức là $s_{n}> s_{n-1}$, $\forall n\geq 2$, $n\in N^{*}$

Vậy $(s_{n})$là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 2.1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ...

Đáp án:

a)

b)

 c) 

Bài tập 2.2: Dãy số (un) cho bởi hệ thức truy hồi...

Đáp án:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là

$u_{1}=1$

$u_{2}=2u_{1}=2$;

$u_{3}=3u_{2}=6$;

$u_{4}=4u_{1}=24$;

$u_{5}=5u_{4}=120$.

b) Ta có:

$u_{2}=2\cdot 1=2$!

$u_{3}=3u_{2}=3\cdot 2\cdot 1=3!$;

$u_{4}=4u_{3}=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4!$;

$u_{5}=5u_{4}=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5!$;

=> $u_{n}=n!$

Bài tập 2.3: Xét tính tăng, giảm của...

Đáp án:

a) Xét $u_{n+1}-u_{n}=(2n+1)-(2n-1)=2>0$, tức là $u_{n+1}>u_{n}$, $\forall n\in N^{*}$.

Vậy $(u_{n})$là dãy số tăng.

b) Xét $u_{n+1}-u_{n}=(-3n11)-(-3n+2)=-3<0$,

Tức là $u_{n+1}>u_{n}$, $\forall n\in N^{*}$.

Vậy $(u_{n})$là dãy số giảm.

c) Ta có:

$u_{1}=\frac{(-1)^{1-1}}{2^{1}}=\frac{1}{2}>0$;

$u_{2}=\frac{(-1)^{2-1}}{2^{2}}=-\frac{1}{4}<0$

$u_{3}=\frac{(-1)^{3-1}}{2^{3}}=\frac{1}{8}>0$

$u_{4}=\frac{(-1)^{4-1}}{2^{4}}=-\frac{1}{16}<0$

Vậy dãy số $(u_{n})$không tăng, cũng không giảm.

Bài tập 2.4: Trong các dãy số...

Đáp án:

a) Ta có: $u_{n}=n-1>0$, $\forall n\in N^{*}$.

Do đó, dãy số $(u_{n})$bị chặn dưới $\forall n\in N^{*}$.

Dãy số $(u_{n})$không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn: $u_{n}=n-1<M$, $\forall n\in N^{*}$.

b) Ta có: $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=\frac{n+2-1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}$, $\forall n\in N^{*}$.

Vì $0<\frac{1}{n+2}\leq \frac{1}{3} \forall n\in N^{*}$.

$1-\frac{1}{3}<1-\frac{1}{n+2}<1$ hay $\frac{2}{3}\leq $u_{n}<1$ $\forall n\in N^{*}$.

Vậy $(u_{n})$là dãy số bị chặn.

d) Ta có:

$(-1)^{n-1}=1$, $\forall n\in N^{*}$ và n lẻ.

$(-1)^{n-1}=-1$, $\forall n\in N^{*}$ và n chẵn.

$(n)^{2}\leq 0$, $\forall n\in N^{*}$.

Vậy dãy không bị chặn.

Bài tập 2.5: Viết số hạng tổng quát của dãy số...

Đáp án:

a) Các số này có dạng 3n với $n\in N^{*}$.

Vậy số hạng tổng quát là $u_{n}=3n$với $n\in N^{*}$.

b) Các số này có dạng là 4n + 1 với $n\in N^{*}$.

Vậy số hạng tổng quát là $u_{n}=4n+1$với $n\in N^{*}$.

Bài tập 2.6: Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng...

Đáp án:

a) Ông An nhận được số tiền sau một tháng là:

$A_{1}=100\cdot (1+\frac{0,06}{12})^{1}=100,5$(triệu đồng)

Ông An nhận được số tiền sau hai tháng là:

$A_{2}=100\cdot (1+\frac{0,06}{12})^{2}=101,0025$(triệu đồng)

b) Ông An nhận được số tiền sau một năm là:

$A_{12}=100\cdot (1+\frac{0,06}{12})^{12}\approx 106,17$(triệu đồng)

Bài tập 2.7: Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng...

Đáp án:

a) Ta có: $A_{0}=100$ (triệu đồng)

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 1 tháng là:

$A_{1}=100+100\cdot 0,8%-2=98,8$ (triệu đồng)

Tương tự:

$A_{2}=98,8+98,8\cdot 0,8%  – 2= 97,5904$ (triệu đồng).

$A_{3}=97,5904+ 97,5904\cdot 0,8%  – 2=96,3711232$ (triệu đồng).

$A_{4}=96,3711232+ 96,3711232\cdot 0,8%  – 2 = 95,1420932$ (triệu đồng).

$A_{5}= 95,1420932+ 95,1420932\cdot 0,8%  – 2 = 93,9032332$(triệu đồng).

$A_{6}=93,9032332+ 93,9032332\cdot 0,8%  – 2= 92,6544632$ (triệu đồng).

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (A_n) là:

$A_{0}=100$; $A_{n}=A_{n-1}-(2-A_{n-1}\cdot 0,8%)=1,008\cdot A_{n-1}-2$