1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là...

Đáp án:

a) Năm số hạng đầu của dãy số ($u_{n}$) là:

 $u_{1}$=$\frac{(-1)^{1}}{1}$=1;$u_{2}$=12;$u_{3}$=-13;$u_{4}$=14;$u_{5}$=-15.

b) Khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 là -$\frac{1}{n}$n=$\frac{1}{n}$n=$\frac{1}{n}$, $\forall n\in N^{*}$.

Ta có: $\frac{1}{n}$<0,01⟺$\frac{1}{n}$<$\frac{1}{100}$⟺n>100

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Bài 2: Chứng minh rằng...

Đáp án:

Ta có:

$\left | u_{n} \right |$=$\left | \frac{-1^{n-1}}{3^{n}} \right |=\frac{1}{3^{n}} =\frac{1}{3} ^{n}$ ; $\frac{1}{3} ^{n} =0$

=> $\frac{-1^{n-1}}{3^{n}}=0$.

Bài 3: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn...

Đáp án:

$v_{n}=u_{n}-1=\frac{n+(-1)^{n}}{n}-1=(1+\frac{(-1)^{n}}{n})-1=\frac{(-1)^{n}}{n}$ $\rightarrow$ 0 khi n $\rightarrow$ $+\infty$

Do vậy $v_{n}$= $\frac{(-1)^{n}}{n}$ = 0

Bài 4: Cho dãy số...

Đáp án:

$u_{n}$-3=$\frac{3\cdot 2^{n}-1}{2^{n}}-3=\frac{(3\cdot 2^{n}-1)-3\cdot 2^{n}}{2^{n}}=\frac{-1}{2^{n}}$ $\rightarrow$0 khi n$\rightarrow$ $+\infty$

Do vậy $u_{n}$ =3.

Bài 5: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m...

Đáp án:

Sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là $u_{1}$=$\frac{2}{3}\cdot 5$

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao $u_{1}$ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là: 

$u_{2}$=$\frac{2}{3} u_{1}$=$\frac{2}{3}\cdot (\frac{2}{3}\cdot 5)=5(\frac{2}{3})^{2}$

Ta thấy độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn tạo thành một cấp số nhân với số hạng tổng quát là $u_{n}$=5(\frac{2}{3})^{n}$

Ta có: $(\frac{2}{3})^{n}=0$, do đó, $u_{n}$ =0 

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn...

Đáp án:

Ta có: $u_{n}$+$v_{n}$=(2+$\frac{1}{n}$)+(3-$\frac{2}{n}$)=5-$\frac{1}{n}$ 

+) $u_{n}$+$v_{n}$-5=5-$\frac{1}{n}$-5=-$\frac{1}{n}$ $\rightarrow$0 khi $\rightarrow$ $+\infty$

Do vậy, ($u_{n}$+$v_{n}$) =5

+) $u_{n}$-2=2+$\frac{1}{n}$-2=$\frac{1}{n}$ $\rightarrow$0 khi $\rightarrow$ $+\infty$

Do vậy, $u_{n}$ =2

Và $v_{n}$-3=(3-$\frac{2}{n}$)-3=$\frac{-2}{n}$ $\rightarrow$0 khi $\rightarrow$ $+\infty$

Do vậy, $v_{n}$=3

Vậy ($u_{n}$+$v_{n}$) =$u_{n}$ +$v_{n}$  

Bài 2: Tìm...

Đáp án:

$\frac{\sqrt{2n^{2}+1}}{n+1}=\frac{\sqrt{n^{2}(2+\frac{1}{n^{2}})}}{n+1}=\frac{n\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}}}{n(1+\frac{1}{n})}=\sqrt{2}$

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Bài 1: Làm quen với việc tính tổng vô hạn...

Đáp án:

a) Ta có, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}$=$\frac{1}{2}$ và công bội q=$\frac{1}{2}$

Do đó, tổng của n số hạng đầu là:

$S_{n}$=$u_{1}$+$u_{2}$+…+$u_{n}$=$\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^{n})}{1-\frac{1}{2}}=1-(\frac{1}{2})^{n}$

b) $S=S_{n}=(1-(\frac{1}{2})^{n})=1-(\frac{1}{2})^{n}=1$

Bài 2: Tính tổng...

Đáp án:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}$=2 và q=$\frac{1}{7}$.

Do đó, $S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{1}{7}}=\frac{7}{3}$

Bài 3: (Giải thích nghịch lí Zeno)...

Đáp án:

a) 

+ Để chạy hết $A_{1}A_{2}$=a=100 (km), Achilles phải mất  $t_{1}$=$\frac{100}{100}$=1 (h). Với thời gian t1 này, rùa đã chạy được $A_{2}A_{3}$=1 (km).

+ Để chạy hết$A_{2}A_{3}$=1(km), Achilles phải mất $t_{2}$=$\frac{1}{100}$(h). Với thời gian $t_{2}$ này, rùa đã chạy được $A_{3}A_{4}$=$\frac{1}{100}$(km)

Vậy, để chạy hết quãng đường từ $A_{n}$đến $A_{n+1}$với $A_{n}A_{n+1}$=$\frac{1}{100^{n-2}}$ (km), Achilles phải mất thời gian $t_{n}$=$\frac{1}{100^{n-2}}$(h).

b) Thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là:

T=1+$\frac{1}{100}$+$\frac{1}{100^{2}}$+...+$\frac{1}{100^{n-1}}$+...$\frac{1}{100^{n}}$+ … (h) 

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có $u_{1}$=1 và q=$\frac{1}{100}$.

Ta có: T=$\frac{u_{1}}{1-q}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{100}}$=$\frac{100}{99}$=$1\frac{1}{99}$ (giờ) 

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết giới hạn vô cực...

Đáp án:

a) Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là $u_{0}$=50

Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là $u_{1}$=2$u_{0}$=2.50

Ta dự đoán được sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn là $u_{n}$=$2^{n-1}$.50 với n>1.

b) Giả sử sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn sẽ vượt 10 000.

$S_{n}= \frac{50\cdot 2^{n-1}}{2-1}=10000$

⇒ $2^{n}$= 201 ⇒ n $\approx$ 7.651

Vậy số lượng vi khuẩn sẽ vượt 10000 con sau 7.651 × 4 = 30.604 giờ

Bài 2: Tính...

Đáp án:

Ta có: $n-\sqrt{n}=n(1-\frac{1}{^{\sqrt{n}}})$ mà $n=+\infty$; $(1-\frac{1}{^{\sqrt{n}}}) =1$

Do đó, $(n-\sqrt{n}) =+\infty$

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 5.1: Tìm các giới hạn sau...

Đáp án:

a)$\frac{n^{2}+n+1}{2n^{2}+1}=\frac{n^{2}(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{n^{2}(2+\frac{1}{n^{2}})}=\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{1}{2}$

b) $(\sqrt{n^{2}+2n}-n)= \frac{(n^{2}+2n)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}=\frac{2n}{\sqrt{n^{2}(1+\frac{2}{n})+n}}=1$

Bài tập 5.2: Cho hai dãy số không âm...

Đáp án:

a) $u_{n}^{2}$=($u_{n}$.$u_{n}$) =2.2=4 và ($v_{n}$-$u_{n}$) =3-2=1

Vậy $\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}}=\frac{4}{1}=4$

b) $(2v_{n})$ =$(2\cdot v_{n})$ =2.3=6 và $u_{n}+2v_{n}$=2+6=8

Vì $u_{n}$≥0, $(v_{n})$ ≥0 với mọi n nên $u_{n}+2v_{n}$≥0 với mọi n và ($u_{n}+2v_{n}$)=8>0

Do đó, $\sqrt{u_{n}+2v_{n}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Bài tập 5.3: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi...

Đáp án:

a) $u_{n}$=$\frac{n^{2}+1}{2n-1}=\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}}}$

Vì $u_{n}$ =$\frac{n^{2}+1}{2n-1}=+\infty $

b) Ta có: $v_{n}=(\sqrt{2n^{2}+1}-n)=(\sqrt{n^{2}(2+\frac{1}{n^{2}})}-n)=[n(\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}-1})]$

Vì $\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}-1}=\sqrt{2}-1$ và $n =+\infty $

 Nên $[n(\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}}-1)]=+\infty $

Vậy $v_{n}=(\sqrt{2n^{2}+1}-n)=+\infty $

Bài tập 5.4: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số...

Đáp án:

a) 1,(12) = 1 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...

=$1+12.10^{-2}+12.10^{-4}+12.10^{-6}+…$

= $1 + 12(10^{-2}+ 10^{-4}+…$

$10^{-2}+ 10^{-4}+…$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=10^{-2}$và $q=10^{-2}$ nên $10^{-2}+10^{-4}+10^{-6}+…=\frac{10^{-2}}{1-10^{-2}}=\frac{1}{99}$

Vậy $1,(12)=1+12.\frac{1}{99}=\frac{37}{33}$

b) Ta có: 3,102=3+0,102+0,000102+…

=$3+102.10^{-3}+102.10^{-6}+102.10^{-9}+…$

=$3+102.(10^{-3}+10^{-6}+10^{-9}+…)$

$10^{-3}+10^{-6}+10^{-9}+…$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u-1=10^{-3}$và $q=10^{-3}$ nên: $10^{-3}+10^{-6}+10^{-9}+…=\frac{10^{-3}}{1-10^{-3}}=\frac{1}{999}$

Vậy $3,(102)=3+102.\frac{1}{999}=\frac{1033}{333}$

Bài tập 5.5: Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc...

Đáp án:

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

150 + 150 . 5% = 150(1 + 0,05). 

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

$S=150.(1+0,05+0,05^{2}+0,05^{3}+0,05^{4}+…)$

Lại có $1+0,05+0,05^{2}+0,05^{3}+0,05^{4}+…$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}$=1 và công bội q=0,05.

Do đó, $1+0,05+0,05^{2}+0,05^{3}+0,05^{4}+…=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-0,05}=\frac{20}{19}$

=> $S=15.\frac{20}{19}\approx 158$ (mg)

Bài tập 5.6: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A...

Đáp án:

Ta có, $AA_{1}$=AB.sin B =h.sin a

Ta có: $\widehat{B}+\widehat{BAA_{1}}=90^{o}$ và $\widehat{A_{1}AA_{2}}+\widehat{BAA_{1}}=90^{o}$

Suy ra $\widehat{A_{1}AA_{2}}=\widehat{B}=\alpha$

Tam giác $AA_{1}A_{2}$ vuông tại $A_{2}$  nên 

$A_{1}A_{2}$ =$AA_{1}$.sin $\widehat{A_{1}AA_{2}}$ =h.sin($\alpha$).sin       sin$\alpha$ =h.$\alpha$ .  

Vì AB$\perp $AC và $A_{1}A_{2}$  $\perp $AC nên AB // $A_{1}A_{2}$ , => $\widehat{A_{2}A_{1}A_{3}}=\widehat{B}=\alpha$(đồng vị).

Chứng minh tương tự, ta được $A_{n-1}-A_{n}=h.\alpha$.

Ta có: $AA_{2}A_{1}A_{3}…=AA_{1}+A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+…+A_{n-1}A_{n}+…$

=h.sinsin$\alpha$  +h. $\alpha$ +…+h. $\alpha$ +… 

Vì góc B là góc nhọn nên sin B = sin $\alpha$  < 1, do đó |sin $\alpha$ |<1.

Khi đó, độ dài của $AA_{2}A_{1}A_{3}…$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}$=h.sin $\alpha$  và công bội q = sin $\alpha$ .

Do đó $AA_{2}A_{1}A_{3}…=\frac{u_{1}}{1-q}=h\frac{sin sin\alpha}{1-sin sin\alpha}$