Luyện tập 1 trang 105 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Chứng minh rằng $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n}}=0$

Luyện tập 2 trang 106 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{3\times 2^{2}-1}{2^{n}}$. Chứng minh rằng $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=3$

2. Định lí về giới hạn của dãy số

Hoạt động 3 trang 106 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Hình thành quy tắc tính giới hạn

Cho hai dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ với $u_{n}=2+\frac{1}{n},v_{n}=3-\frac{2}{n}$

Tính và so sánh: $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(u_{n}+v_{n})$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}+\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Hoạt động 4 trang 107 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Làm quen với việc tính tổng vô hạn

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi $u_{1},u_{2},...,u_{n},...$ lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng $S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n}$

b) Tìm $S=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}S_{n}$

Vận dụng 2 trang 108 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: (Giải thích nghịch lí Zeno)

Để đơn giản, ta giả sử Achiles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu a = 100 (km)

a) Tính thời gian $t_{1},t_{2},...,t_{n},...$ tương ứng để Achiles đi từ $A_{1}$ đến $A_{2}$, từ $A_{2}$ đến $A_{3}$, ..., từ $A_{n}$ đến $A_{n+1},...$

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achiles chạy hết các quãng đường $A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},...,A_{n}A_{n+1},...,$ tức là thời gian cần thiết để Achiles đuổi kip rùa.

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno ở đâu

Luyện tập 5 trang 109 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(n-\sqrt{n})$

Bài tập 5.2 trang 109 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Cho hai dãy số không âm $(u_{n})$ và $(v_{n})$ với $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=2$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=3$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}}$

b) $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{u_{n}+2v_{n}}$

Bài tập 5.4 trang 109 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12)=1,121212...

b) 3,(102)=3,102102102...